Matriz inversa

Matriz Inversa y Ejercicios

Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se notaA-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertiblesestamos hablando de matrices cuadradas.

La matriz inversa de una matriz cuadrada     de orden     es la matriz,   ,   de orden     que verifica:

Donde     es lamatriz identidad de orden   .

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Las propiedades más importantes relativas a la matrizinversa:

1.   Si existe,     es única.

2.  

3.  

* La inversa de una matriz, si existe, es única.
* La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiandoel orden:

* Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

* Y, evidentemente:

* Una matriz esinvertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

Donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

Cálculo de la matrizinversa
Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Mediante la definición

Ejemplo

Hacemos

Como

Operando:

Método de Gauss-JordanEste método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar lamatriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella...