Matriz invertible

Matriz invertible
En matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadradade orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1A = In,
donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Unamatriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de unamatriz dada.
Propiedades de la matriz inversa
* La inversa de una matriz, si existe, es única.
* La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:* Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

* Y, evidentemente:

* Una matriz es invertible siy sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:

donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.
Demostración de la unicidad de lainversa
Supongamos que B y C son inversas de A
AB = BA = I
AC = CA = I
Multiplicando por C
(BA)C = IC = C
(BA)C = B(AC) = BI = B
De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.
Demostracióndel criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas
Se probará la doble implicación.
Necesidad
Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I. Entonces al aplicar la función determinante seobtiene

usando la propiedad det(I) = 1

Por lo tanto, det(A) es distinto de cero.

Suficiencia
Suponiendo que el determinate de A es distinto de cero, sea aij es el elemento ij de la matriz A ysea Aij la matriz A sin la fila i y la columna j (comúnmente conocida como j-ésimo menor de A). Entonces

Sea , entonces

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte...