Matriz inverza

LA MATRIZ INVERSA

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo,
es decir A·B es distinto de B·A.

En el caso particular de que tratemos con matricescuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos lasiguiente cuestión:

Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =1/2 , es decir, el inverso de un número real es otronúmero que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que: A * X = In

Es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sinembargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In/A , porque no hemos definido la división de matrices.
2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).
Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa:

Dada una matriz cuadrada de orden n,A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que: A ・ A−1 = In
A−1 ・ A = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es ´única (sólo hay una). Paracalcular dicha matriz inversa, podemos utilizar dos vías:

METODO DIRECTO:

Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz
, lo que estoy buscando es otra matriz de igual tamaño
(Orden 2) tal que A ・ A−1 = I2 y A−1 ・ A = I2, es decir, si

Se tiene q cumplir que:

Es decir, hemos de resolver un sistemade 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).
Resolviendo el sistema se obtiene que

por lo que la matriz inversa es:

Se puede comprobar que también se cumple que A−1 ・ A = I2, luego A es invertible, tiene inversa. Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.

Por ejemplo, en el caso en que, del mismo modo:

Y por ejemplo de 2x+2z=0 se obtiene x = -z, si se sustituye en la primera ecuación es -z+z=1, es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución.
Por tanto A no es invertible, es singular.
Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones con 9incógnitas! que realmente es difícil de resolver.

METODO DE GAUSS-JORDAN:

Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.

Se llama transformación elemental en una matriz a:

T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real...