Matriz Portico

CAPITULO 12

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO
ORIENTADO AL USO DEL COMPUTADOR

RESUMEN
Se presenta el cálculo de las matrices de rigidez de un elemento en coordenadas locales y
globales para los siguientes modelos numéricos de cálculo:
i)

Elemento lineal de un pórtico plano de sección constante sin considerar el efecto de corte y
considerando dicho efecto.

ii)

Elemento lineal deuna armadura plana de sección constante.

iii) Elemento de sección constante o variable de un pórtico plano.
iv) Elemento lineal de un pórtico plano considerando dos sectores de rigidez infinita.
v) Elementos de un pórtico plano con inercia escalonada.
Todo esto orientado al uso del ordenador. Por hacerlo didáctico se presenta el cálculo
mediante la transformación de coordenadas. Laaplicación de los resultados obtenidos se realiza en
el capítulo 13.

12. 1 ELEMENTOS DE SECCIÓN CONSTANTE DE UN PÓRTICO PLANO
12.1.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales
Al considerar como sistema P − p de un elemento el presentado en la figura 12.1, en donde
no se incluyen los desplazamientos como cuerpo rígido. A éste sistema se denomina por didáctica
sistema 1, el vector pmide las deformaciones con el siguiente formulario:

Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE

392

v 2 − v1
L
v −v
p2 = θ 2 − 2 1
L
p3 = u 2 − u1
p1 = θ1 −

Figura 12.1 Sistema de coordenadas en el sistema 1.
Por otro lado la matriz de rigidez para elementos de sección constante en los cuales no se
considera el efecto de corte es:

4 EI
L
2 EI
k1 =
L
0

2 EI
L
4 EI
L
00
0
EA
L

Como la matriz de rigidez está asociada al sistema 1 se ha colocado el subíndice 1 en dicha
matriz. Ahora se quiere calcular la matriz de rigidez para un elemento lineal en el cual se incluyan las
∗

∗

deformaciones como cuerpo rígido. Por lo tanto el nuevo sistema P − p será el indicado en la
figura 12.2. Por didáctica se ha colocado el asterisco debido a que se va acalcular la nueva matriz de
rigidez por medio de la matriz de transformación de coordenadas T .

Figura 12.2 Coordenadas locales de un elemento.
Al sistema de coordenadas del elemento de la figura 11.2 se denomina sistema 2 y el
significado de cada una de las deformaciones es el siguiente:

o

p1∗ es la componente de desplazamiento axial del nudo inicial del elemento.
∗
p 2 es la componentede desplazamiento transversal del nudo inicial del elemento.

o

∗
p3 es la rotación de la elástica en el nudo inicial del elemento.

o

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

393

o

∗
p 4 es la componente de desplazamiento axial del nudo final del elemento.
∗
p5 es la componente de desplazamiento transversal del nudo final del elemento.

o

∗
p 6 es la rotación de la elásticaen el nudo final del elemento.

o

La convención de signos positiva de las deformaciones en el sistema de coordenadas 2 es la
que se indica en la figura 12.2. A estas sistema se denomina Coordenadas Locales.
∗

Para los elementos del vector de cargas internas P se tiene lo siguiente:

P1∗ es la fuerza longitudinal axial en el nudo inicial del elemento.
P2∗ es la fuerza transversal en elnudo inicial del elemento.
P3∗ es el momento a flexión en el nudo inicial del elemento.
P4∗ es la fuerza longitudinal axial en el nudo final del elemento.
P5∗ es la fuerza transversal en el nudo final del elemento.

P6∗ es el momento a flexión en el nudo final del elemento.
Evidentemente la matriz que relaciona las cargas P
matriz de rigidez de un elemento

∗

con los desplazamientos p∗

es la

∗

k . En efecto se tiene que:
P ∗ = k ∗ p∗
∗

El objetivo de éste subapartado es calcular k pero el cálculo se lo va a realizar utilizando lo
ya conocido para no empezar de nuevo todo. Para el efecto se determina una matriz de paso de las
coordenadas del sistema 1 al sistema 2, a ésta matriz se denomina T , definida de la siguiente
manera:

p = T p∗
El sistema...