matriz Pseudoinversa

Universidad Politécnica de Valencia

Métodos Numéricos



PSEUDOINVERSA DE UNA MATRIZ

ÍNDICE
1. Introducción 3
1.1 Descomposición en valores singulares 3
1.2 Definición 5
1.3 Propiedades 5
1.3.1 Existencia y unicidad 5
1.3.2 Propiedades básicas 5
1.4 Aplicaciones 6
1.4.1 Obtención de todas las soluciones de un sistema lineal 6
1.4.2 Solución de mínimanorma en un sistema lineal 6
1.4.3 Número de condición 6
2. Experimentación con Mathematica 6
2.1 Ejemplos 7
2.1.1 Ejemplo en matrices regulares 7
2.1.2 Ejemplo en matrices singulares 7
2.1.3 Ejemplo en matrices nulas 8
2.1.4 Comprobación de las cuatro propiedades que cumple la pseudoinversa de Penrose: 8
2.1.5 Cálculo del número de condición de una matriz a través de lapseudoinversa 10
3. Aplicaciones 11
3.1 En nuestra titulación 11
3.1.1 Ajuste en redes GPS 11
3.1.2 Fotogrametría: Calibración de una cámara 12
3.1.3 Rectificación de imágenes basada en la transformación perspectiva directa 13
3.1.4 Teledetección: Mejoras en la implementación de un sistema de seguimiento de objetos no rígidos basados en Wavelets 14
3.2 Fuera de la carrera(otras ciencias) 15
3.2.1 Diseño de un sistema de control para un manipulador móvil 15
3.2.2 Aplicación de la teoría de robots manipuladores a la biomecánica del brazo humano 16
3.2.3 Reconstrucción de imágenes PET mediante pseudoinversa 16
3.2.4 Diseño de un sistema de control para un hexacoptero 17
4. Resolución de problemas con Mathematica 19
5. Biliografía 36

1.Introducción
En matemáticas y más concretamente en algebra lineal, la noción de pseudoinversa (o inversa generalizada) generaliza la inversa de una aplicación lineal o de una matriz a los casos no invertibles suprimiéndole ciertas propiedades pedidas a las inversas, o ampliándola a los espacios algebraicos más largos.
En general, no hay unicidad de la pseudoinversa. Su existencia, para unaaplicación lineal entre espacios de dimensiones eventualmente infinitos, es equivalente a la existencia de kernels adicionales y de la imagen.
El tipo de matriz pseudoinversa más extendida es la pseudoinversa de Moore-Penrose, la cual fue descrita por separado por E. H. Moore en 1920, Arne Bjerhammar en 1951 y Roger Penrose en 1955. Antes de eso, Fredholm introdujo el concepto de pseudoinversa en lasoperaciones con integrales en 1903. Referido a una matriz, el término pseudoinversa, sin más especificaciones, se utiliza frecuentemente para referirse a la pseudoinversa de Moore-Penrose. El término inversa generalizada se utiliza a veces como sinónimo de pseudoinversa.
Un uso común de la pseudoinversa de Moore-Penrose, (en adelante pseudoinversa), es para calcular el mejor ajuste (por mínimoscuadrados) en sistemas de ecuaciones lineales que carecen de una única solución. Otro uso es para dar con la solución de norma mínima (Euclídea) de un sistema de ecuaciones lineales con múltiples soluciones.
La pseudoinversa es definida y única para todas las matrices cuyas entradas son números reales o complejos.
* 1.1 Descomposición en valores singulares
Una manera sencilla y precisa decalcular la pseudoinversa es mediante la descomposición en valores singulares. Si


Es la descomposición en valores Singulares de A, entonces . Para una diagonal como Σ, obtenemos la pseudoinversa tomando el recíproco de cada elemento distinto de cero en la diagonal, dejando los cero en el sitio, y trasponiendo la matriz resultante. En cálculo numérico, sólo los elementos más grandes quealguna pequeña tolerancia son los que se consideran distintos de cero, y los otros son sustituidos por ceros.
El costo computacional de este método es dominado por el costo de la computación en la descomposición de los valores singulares, que es varias veces mayor que la multiplicación entre matrices. El procedimiento anterior muestra por qué la toma de la pseudoinversa no es una operación...