Matriz semejante

Matriz semejante
Definición. Si Ay B son matrices cuadradas, se dice que B es semejante a A si existe una matriz invertible P talque:

Observación: nótese que ésta ecuación se puede volver areescribir como:

Haciendo se obtiene

Que establece que A es semejante a B, por tanto B es semejante a A si y sólo si A es semejante a B, así en general, simplemente s dirá que A y B sonsemejantes.
Invariantes bajo semejanza.
Las matrices semejantes a menudo tienen propiedades en común: por ejemplo, si A y B son matrices semejantes entonces A y B tienen el mismo determinante. Para darsecuenta de que esto es así, supóngase que

Entonces


Llegamos a la siguiente definición.
Se dice que una propiedad de las matrices cuadradas es invariante bajo semejanza si tal propiedad escompartida por dos matrices semejantes cuales quiera.
En los términos de esta definición, el determinante de una matriz cuadrada es un invariante bajo semejanza.
Se concluye que dos matrices de querepresentan al mismo operador lineal con respecto a dos bases diferentes son semejantes. Entonces, si B es una base para V y la matriz posee una propiedad que no varía bajo semejanza, entonces paratoda base B´ la matriz tiene la misma propiedad. Por ejemplo para dos cualesquiera B y B´ se debe tener


Por esta ecuación se concluye que el valor del determinante depende de T, pero no de labase particular que se usa para tener una matriz para T. Así, el determinante se puede considerar como una propiedad del operador lineal T; de hecho, si V es un espacio vectorial de dimensión finita,entonces el determinante del operador lineal T se puede definir como

en donde B es cualquier base para V.
Propiedad
Descripción
Determinante
A y tienen el mismo determinante.
InvertibilidadA es invertible si y sólo si es invertible.
Rango
A y tienen el mismo rango.
Nulidad
A y tienen la misma nulidad.
Traza
A y tienen la misma traza.
Polinomio característico
A y tienen el...