Matriz y Determinantes

Introduccion

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución desistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoríade los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas.






















Matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Lossubíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Tipos de matrices
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solotiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.

Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden dela matriz.

Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica
Una matriz antisimétrica o hemisimétricaes una matriz cuadrada que verifica:
A = −At.
Atendiendo a los elementos
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matrizidentidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados pordebajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Determinantes
Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de lapermutación)
También se suele escribir:


Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene: 


En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:


Cálculo de un...