Matriz y tranformaciones

Definición De Transformación Lineal
DEFINICIÓN TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicacióncuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación linealT de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar.
IMAGEN Y NÙCLEO
SI T:V ----W es lineal,se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
ker (T)= x V :T (X)= 0w
El núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectoresdel dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. 0v ker (T) dado que T (0v)= 0w
2.dados u,v ker (T): T (u+v)= T(u)+T(v)=0w+0w=0w u+v ker (T)
3. dados u ker (T) k R: T(ku)= kT (u) T(ku)= k0w=0w ku
ker (T)
La imagen de unatransformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
• La imagen de todatransformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

SeaB = V1, V2, V3,… Vn base de V y C = W1, W2, W3,…Wn un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.
T : V ---- W/T(Vi)= Wi, 1

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL CON RESPECTO A UNA BASE
Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.