Matriz

Desarrollo
Definición de matriz
Es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices sedenotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij)

Cuando nos referimos indistintamente a filas ocolumnas hablamos de líneas.
El número total de elementos de una matriz Am×n es m•n
En matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
Tipos de matriz:
Matriz Fila:
Es Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

Matriz Columna:
Es Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

Matriz Rectangular:
Es Aquellamatriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

Matriz Traspuesta:
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT

Matriz Opuesta:
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.Matriz Nula:
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

Matriz Cuadrada:
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j=n+1

Traza de una matriz cuadrada : esla suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
Diagonal principal :
Diagonal secundaria :

Matriz Simétrica:
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.
A = At , aij = aji

Matriz Antisimétrica:
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0

Matriz Diagonal:
Es una matriz cuadradaque tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

Matriz Escalar:
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

Matriz Identidad:
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

MatrizTriangular:
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

Matriz Ortogonal:
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.
El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.Matriz Normal:
Es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

Matriz Inversa:
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :
A•A-1 = A-1•A = I

Matriz Iguales:
Dos matrices A = (aij) m×n y B = (bij) p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementosiguales, es decir: m=p; n=q; aij=bij
Operaciones con matrices:
Suma:
La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)

Propiedades:
•Asociativa: A+ (B+C) = (A+B)+C
•Conmutativa: A+B = B+A
•Elemento neutro: (matriz cero 0m×n), 0+A = A+0 = A
•Elemento simétrico: (matriz opuesta...