matriz

Matriz hermitiana
Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Porejemplo,

es una matriz hermítica.
Índice
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1 Propiedades
2 Diagonalización de Matrices Hermíticas
2.1 Propiedades
3 Ejemplos
4 Véase también
5 Enlaces externos
Propiedades [editar]
1. Sea , donde  es hermitiana y  y  reales, entonces  es simétrica () y  antisimétrica ().
2. La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana.
3. En relación con la propiedad 3, losautovalores de estas matrices son reales.
4. En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
5. La determinante de una matriz hermitiana es un número real.
Diagonalización de Matrices Hermíticas [editar]
Sea  Hermítica, es decir . Entonces  es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:

En donde:
1.  es una matriz unitaria y elconjunto  es ortonormal y está formado por autovectores de  asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deben ir en orden, respecto de sus autovalores.
2.  una matriz diagonal formada con autovalores de  (todos reales)
Propiedades [editar]
 es unitaria si y sólo si  lo que implica que son ortogonales, es decir,  para todo i distinto de j, y si ies igual a j entonces . Donde  esel producto interno canónico en .
Entonces el conjunto  es una base ortonormal de . Observar que la implicación de que el producto interno de 1 si coinciden los subíndices, implica que  es un conjunto ortonormal.
Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además  (observar que se trata sólo del caso real), entonces ocurre que . En este caso la matriz  se dice involutiva y está asociada a unareflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder
Analicemos el siguiente caso suponiendo . O sea  autovalor de  asociado al autovector :

De donde

Sean  autovectores de la matriz Hermítica  asociados a los autovalores  respectivamente. Supongamos que al menos, existe un par de estos últimos distintos, es decir,  para algún par . Entonces . Es decir, autovectores asociadosa autovalores distintos sonortogonales

De donde

Ejemplos [editar]
1) Sea  una matriz simétrica (caso particular de Hermítica). Entonces, se ve que  es autovalor de  asociado al autovector , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es 
El otro autovalor es  asociado al autovector , es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es 
Como se puede ver, ; es decir, sonortogonales. O sea 
La descomposición de la matriz es:

O sino

Véase también 
Matriz antihermitiana
En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:
 
o en su forma componente, si ():

Para todas las i y las j.
Ejemplo [editar]
Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:Propiedades [editar]
1. Los autovalores de una matriz antihermitiana son todos imaginarios puros. Es más, las matrices antihermitianas son matrices normales. Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para distintos autovalores son ortogonales.
2. Si A es antihermitiana entonces iA es hermitiana.
3. Si A,B es antihermitiana, entonces aA+bB es antihermitiana para todoslos escalares reales de a,b.
4. Si A es antihermitiana, entonces A2k es hermitiana para todos los naturales k.
5. Si A es antihermitiana, entonces A2k+1 es antihermitiana para todos los naturales k.
6. Si A es antihermitiana, entonces eA es matriz unitaria.
7. La diferencia entre una matriz y su traspuesta conjugada () es antihermitiana.
8. Una matriz cuadrada arbitraria C puede ser escrita como la...