Matriz

Matriz
Definiciones y notaciones
Una matriz es una tabla o arreglo rectangular de numeros. Los numeros en el arreglo se denominan elementos de la matriz.
Las líneas horizontales en una matriz se denominan filas y las líneas verticales se denominan columnas. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y m y n son sus dimensiones. Las dimensiones de unamatriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después.
La entrada de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama entrada i,j o entrada (i,j)-iésima de A. Esto se escribe como Ai,j o A[i,j].
Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sinembargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.
Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1(una columna y m filas) se denomina vector columna.
Ejemplo
La matriz

es una matriz 4×3. El elemento A[2,3] o a2,3 es 7.
La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.
Suma de matrices
Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada unode los elemetos homologos de las matrices a sumar. Por ejemplo:

Propiedades de la suma de matrices
Asociativa
Dadas las matrices m-por-n A , B y C
A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m-por-n A y B
A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 + A = A
Existencia de matriz opuesta
con -A = [-aij]
A + (-A) = 0
Producto de una matriz por unescalar
Dada una matriz A y un número c, el producto escalar cA se calcula multiplicando el escalar c por cada elemento de A (i.e. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Por ejemplo:

Producto de matrices
El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m-por-n y B es una matrizn-por-p, entonces su producto matricial AB es la matriz m-por-p (m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.

Por ejemplo:

El producto de dos matrices no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matricescuadradas.
Las matrices en la Computación
Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.

Determinante (matemática)
En matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un cuerpo En. Esta definiciónindica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Aunque el origen del determinante tiene lugar en el campo del álgebra lineal y puede concebirse como una generalización del concepto de superficie o de volumen orientado. Fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones
Dosejemplos
El caso n = 1 carece totalmente de interés, veamos los casos n = 2 y luego n = 3.
Una observación preliminar: una aplicación alterna es también antisimétrica.
En efecto, con n = 2 por ejemplo:
f( v + w, v + w) = o por ser f alterna, luego si se desarrolla el miembro izquierdo, se obtiene:
f( v + w, v + w) = f(u, u) + f(u, v) + f(v, u) + f(v, v) = 0 + f(u, v) + f(v, u) + 0.
Igualando...