Matriz

b) Transformaciones elementales
Las transformaciones lineales más sencillas están dadas por matrices de la forma

La primera de ellas se llama traslación paralela. La segunda es una rotación si|k|  0, y una homotecia si k > 0 (si k < 0 se puede escribir k  |k| · k/|k|, y por lo tanto la transformación es una homotecia seguida de una traslación paralela). La última transformación se llamauna inversión.
Si c  0, podemos escribir

y esta descomposición muestra que la transformación lineal más general se compone de una traslación, una inversión, una rotación y una homotecia seguida deotra traslación. Si c  0, desaparece la inversión y no es necesaria la última traslación.

Rango de una matriz
Dada, ahora una Matriz , definimos el rango de A como el número de filas no nulas desu forma normal de Hermite por filas, y lo denotaremos como rg(A).
Proposición 2. Si A es una matriz de , entonces se tiene que 
Demostración. Por definición, se tiene que . Por otra parte, sillamamos , entonces todas las r filas de la forma normal de Hermite tendrán un término no nulo en ellas, por lo que se tendrá , concluyendo el resultado.
Es importante recordar que para hallar el rangode una matriz no es necesario obtener la forma normal de Hermite, sino solamente la matriz escalonada reducida por filas asociada.
Teorema 2 (de Rouché-Frobenius). Dado un sistema de ecuacioneslinales, su matriz asociada A de  y la ampliada de ésta (A|B), se tiene que :
1. El sistema es compatible si, y sólo si, rg(A) = rg(A|B).
2. El sistema es compatible rg(A) = rg(A|B) = n.
Demostración.Sea H la forma normal de Hermite por filas de la matriz ampliada (A|B). Entonces, la matriz que corresponde a la forma normal de Hermite de A es la matriz H' que se obtiene eliminando la última columnade H. Como vimos anteriormente, el sistema es compatible si y sólo si en su forma escalonada reducida por filas no aparece una ecuación del tipo b = 0, o equivalentemente, si rg(A) = rg(A|B). Por...