matriz

GU´ PRUEBA 3
IA
1. Demostrar por inducci´n las siguientes proposiciones
o
a) (∀ n ∈ N) 2 + 5 + 8 + . . . + (3n − 1) =

n(3n + 1)
2

b) (∀ n ∈ N) 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n−1 = 2n − 1
c) (∀n ∈ N)

1
1·3

+

1
3·5

+

1
5·7

+ ... +

1
(2n−1)·(2n+1)

d ) (∀ n ∈ N) a + ar + ar2 + ar3 + . . . + arn−1 =

=

n
2n+1

a(1−r n )
1−r

con r = 1.

•

e) (∀ n ∈ N)32n+1 + 2n+2 = 7
•

f ) (∀ n ∈ N) 5n3 + 7n = 6
2. Calcular las siguientes sumatorias.
n

a)
k=1
n

b)

(k(k + 2) + 2k )
(2k − 5)2

k=5

3k + 2k
+1
5k
k=1
n

c)

121

d)1
1
− 2
k2
k + 2k + 1
k=4

e)

k2
2
k=3 k + 1
97

n

1
k=1 (2k − 1)(2k + 1)(2k + 3)
n √
√
g)
k 2 − 1 − k 2 + 4k + 3
f)

k=1

3. Calcular las siguientes productorias
70a) Π 7k
k=1
120

b) Π (k − 3)
k=1
2n

c) Π

k=1 k

2
+2

40

d ) Π ln(2k)
k=1

k2 − 1
k=1 k 2
√
n
3k − 1
f) Π √
k=1 3x + 8
n

e) Π

4. Hallar la suma de los primeros 55t´rminos de la P.A. a-3b,2a-5b,3a-7b,...
e

5. El tercer t´rmino de una P.A es 18 y el s´ptimo t´rmino es 30. Hallar la suma de los 25 primeros
e
e
e
t´rminos de la P.A.
e
6. La suma de tresn´meros en P.A. es 12 y la suma de sus cubos es 408. Hallar estos n´meros.
u
u
7. Un n´mero est´ formado por cuatro d´
u
a
ıgitos en Progresi´n Aritm´tica. La suma de todos los
o
e
d´
ıgitoses 16 y la suma de los ultimos dos d´
´
ıgitos es 12. ¿ Cu´l es el n´mero?
a
u
8. La suma de los seis primeros t´rminos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros
e
t´rminos.Hallar la raz´n de la P.G.
e
o
9. A los 3 primeros t´rminos de una P.G. de raz´n 3. Si se le suma 2 al primero de ellos, el segundo
e
o
se mantiene y se le resta 12 al tercer t´rmino, se obtieneuna nueva P.G. en el mismo orden.
e
Hallar los t´rminos.
e
10. Tres personas A,B,C. se reparten una herencia de US 210,000. La cantidad que recibe cada uno
es proporcional a su edad. Las...