Matriz

TEMA 0 – MATRICES

Matriz :- Listas y tablas numéricas. Las matrices se emplean para almacenar
información, para describir relaciones, para el estudio de sistemas de
ecuaciones,…, y aparecen de modo natural en Economía, Sociología, Psicología,
Estadística, Geometría,...

0.1.DEFINICIONES BÁSICAS
 Matriz de orden m x n
Todo conjunto de elementos dispuestos de modo ordenado en forma deuna
tabla de m filas y n columnas. Se simboliza en las formas:

 a11 a12  a1n 
a
a22  a2 n 
21
 ,
A
 


 


am1 am 2  amn 
A  c1, c2 ,..., cn ,

ó

ó

A  aij mn

 f1 
A  
 
 f m 

Siendo:
a ij : el término situado en la fila i y columna j,
cj : vector-columna formado por los elementos de la columna j
(j = 1, 2, ..., n)
fi :vector-fila formado por los elementos de la fila i (i = 1, 2, ..., m)
 Matrices cuadradas
Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de
columnas m = n. Los elementos a11, a22 ,.., ann forman la diagonal
principal. La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina
TRAZA de la matriz.

1

Traz  A  a11  a22  ....  ann
Las matrices cuadradas quetengan nulos los elementos que quedan a uno de
los lados de la diagonal principal se denominan matrices triangulares.
Matriz diagonal: la que tiene nulos todos los elementos que no están en la
diagonal principal.

a11 a12  a1n 
0
a22  a2 n 

A
 


 


0
 ann 
 0


 a11 0  0 
a
a22  0 
21

A
 


 


 an1 an 2  ann 
Triangularsuperior

Triangular inferior

a11 0  0 
0
a22  0 

A
 


 


0
0

a
nn


Diagonal
Las matrices de orden 1 x n y las de orden m x 1 se denominan,
respectivamente, matriz fila y matriz columna.
 Matriz Identidad o Matriz unidad. Es aquella matriz diagonal que tiene
sólo “unos” en la diagonal principal.
1
0
I 


0

0
1
0

0
0 

1

2

0.2.OPERACIONES ELEMENTALES CON MATRICES
Cuando los elementos de la matriz son números reales:
SUMA DE MATRICES
 Suma de dos matrices del mismo orden: es la matriz que resulta al sumar
los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.

Cmn  Amn  Bmn
Sumándose elemento a elemento:

cij  aij  bij
El conjunto de matrices M mn de un mismo orden tiene estructura degrupo
abeliano o conmutativo respecto a la suma matricial, cumpliéndose las siguientes
propiedades:
1. Asociativa:
2. Conmutativa:

A + (B + C) = ( A + B ) + C
A+B=B+A
_

3. Elemento neutro:

A+ 0 = A
_

4. Elemento opuesto:

A + (-A) = 0
_

Siendo A, B, y C matrices del mismo orden y 0 la matriz nula (cuando todos los
elementos son iguales a cero).

PRODUCTO DE NÚMERO REAL PORMATRIZ
El producto de un número real (k) por matriz A = (aij) es la matriz que resulta al
multiplicar el escalar por cada uno de los elementos de la matriz.

k  A  B / A, B  M mn y k  R
Siendo:

bij  k  aij

3

0.3.PRODUCTO DE MATRICES
El producto de una matriz A de orden m x n, por otra matriz B de orden n x p, es
la matriz C, de orden m x p, cuyo elemento genérico cij es elresultado de sumar
los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B.

Amn  Bn p  Cm p / cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  ain  bnj
Propiedades:
1. Asociativa:

A  ( B  C )  ( A  B)  C

2. Distributivas:

A  (B  C)  A  B  A  C

y también: ( A  B)  C  A  C  B  C

A1  A  A  A1  I (ojo, no siempre existe)1.
4. No cumple laConmutativa: A  B  B  A
3. Elemento Simétrico:

0.4. TRANSPOSICIÓN MATRICIAL
Transpuesta de una matriz A, de orden m x n, es la matriz At, de orden n x m,
cuyas filas son las columnas de A.

A  M mn Transposic
ión
 At  M nm
Ejemplo:

 1 2


 1  3 0
A  
  At    3 1 
 2 1 5
 0 5


Si la matriz A es cuadrada y además aij  a ji , la matriz A...