Matrizes

M A T R I C ES_ _
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INTRODUCCIÓN
En el tema anterior hemos usado la “matriz ampliada” de un sistema, para manejar, con más comodidad, los números que intervienen en un sistema lineal. En otros muchos problemas es útil disponer y manejar un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Así escómo se introdujo, en matemáticas, el concepto de matriz, como una disposición rectangular de números. Vienen a ser como una ampliación del concepto de número definiéndose para ellas operaciones como la suma y el producto.
1. Concepto de matriz. Elemento y orden de una matriz.
Definición. Se llama matriz del tipo mxn a un conjunto de m.n números dispuestos en m filas y n columnas:
columna{draw:frame} fila {draw:frame} = A
{draw:frame} Se escribirá A= (aij)
Se llama orden, tipo, o dimensión de una matriz, al tamaño mxn.
Ejemplo1: A = {draw:frame} es una matriz de orden 2x4, es decir, tiene dos filas y cuatro columnas.
Ejemplo 2. En un curso de 30 alumnos se han realizado cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro notas por cada alumno y los resultados sepueden disponen mediante una matriz:
Evaluaciones
{draw:frame} {draw:frame} Alumnos* {draw:frame}
Ejercicio 1. Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1’5, 2 y 2,5 cm. con los precios respectivos siguientes:
Recoger la información en una matriz 4x3 que recoja los precios.
El conjunto de todaslas matrices de orden mxn se representa Mmxn.
A cada número *aij* se le llama elemento o término de la matriz. El primer subíndice, y, indica la fila en que se encuentra el elemento, el segundo subíndice, j, la columna.
Dos matrices A y B , de Mmxn , son iguales si aij = bij para todo los i,j.
2. Tipos de matrices
Definiciones. La matriz se llama:
 Matriz fila, si tiene sólouna fila.
 Matriz columna, si tiene sólo una columna.
 Matriz nula, O, si todos sus elementos son 0.
_Matriz traspuesta _de A y se designa A’ o At, a la que se obtiene cambiando filas por columnas.
Ejercicio 2. Calcula la matriz traspuesta de A = {draw:frame}
 Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas.
Si tiene n filas se dirá, simplemente, de orden n (envez de nxn).
Los elementos *aii* (i=1,2...,n) forman la diagonal principal de la matriz
{draw:frame} {draw:frame}
{draw:frame} {draw:frame}
en esta matriz están indicados los elementos que forman la diagonal secundaria.
_Matriz diagonal_ [ la que todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal, valen cero. Es decir aij= 0, cuando y  j.
En particular, si todos loselementos de la diagonal son 1, se la llama matriz identidad, I, o unidad.
Ejercicio 3. Escribe la matriz identidad de orden 5.
 _Matriz triangular , _superior si todos los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0. Análogamente se define triangular inferior.
Ejemplo 3. La matriz {draw:frame} es triangular superior.
 Matriz simétrica,_ _si coincide con su transpuesta,es decir aij = aji.
Ejemplo 4. La matiz identidad es una matriz simétrica.
Ejercicio 4. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3, aij = 2i - j , bij = {draw:frame} . Se pide:
a) Escribe A y B
b) ¿Son simétricas?
3. Operaciones con matrices.
I) Suma de matrices.
Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn. Se define la matriz suma de A y B como la matriz de orden mxndada por:
La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, Mm*,n* , verificándose además las siguientes:
Propiedades**. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.
Por tanto el conjunto Mm*,n* con + es un grupo aditivo.
II) Producto de una matriz por un número
Se define el producto de la...