Mauricio

Productos notables

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto dedos binomios conjugados, y recíprocamente.
Índice
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1 Factor común2 Cuadrado de un binomio3 Producto de binomios con término común3.1 Dos binomios con un término común3.2 Tres binomios con término común3.3 Binomios con término común4 Producto de dos binomios conjugados5 Cuadrado de un polinomio6 Cubo de un binomio7 Identidad de Argand8 Identidades de Gauss9 Identidades deLegendre10 Identidades de Lagrange11 Otras identidades12 Véase también13 Referencias y anotaciónes14 BibliografíaFactor común[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=1" \o "Editar sección: Factor común" editar]

Visualización de la regla de factor común. Forma un gnomon.
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtieneaplicando la propiedad distributiva:
c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅bEn la figura adjunta se observa que área del rectángulo es c(a+b), es decir, el producto de la base a+b por la altura c, y también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cbEjemplo:
3(4+6)=12+18
Cuadrado de un binomio[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=2" \o"Editar sección: Cuadrado de un binomio" editar]

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a+b)2=a2+2ab+b2
[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables" Expandir]DemostraciónLa expresión siguiente: a2+2ab+b2 se conocecomo trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
(a−b)2=a2−2ab+b2
[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables" Expandir]DemostraciónEjemplo:
(2x−3y)2=(2x)2−2(2x)(3y)+(3y)2
Simplificando:
(2x−3y)2=4x2−12xy+9y2
Producto de binomios con término común[ HYPERLINK"http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=3" \o "Editar sección: Producto de binomios con término común" editar]
Dos binomios con un término común[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=4" \o "Editar sección: Dos binomios con un término común" editar]

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Para efectuar un producto de dosbinomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables" Expandir]DemostraciónEjemplo:
(x+4)(x−7)=x2−3x−28
(2y−1)(2y−3)=(2y)2+(−1−3)(2y)+((−1)(−3))=4y2−8y+3
Tres binomios con término común[ HYPERLINK"http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=5" \o "Editar sección: Tres binomios con término común" editar]
Fórmula general:
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ca+cb)x+abcBinomios con término común[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=6" \o "Editar sección: Binomios con término común" editar]
Fórmula general:(x+a1)⋅⋯⋅(x+an)=xn+(a1+⋯+an)xn−1+((a1a2+a1a3+…a1an)+(a2a3+⋯+a2an)+⋯+(an−1an))xn−2+…(a1⋅⋯⋅an)
xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos)
Producto de dos binomios conjugados[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Productos_notables&action=edit§ion=7" \o "Editar sección:...