Max y Min

Máximos y mínimos sin cálculo diferencial
Joaquín Hernández Gómez
Universidad de otoño 2009

Uno de los temas que no aparece nunca en los programas de ESO ni de Bachillerato es la resolución deproblemas de máximos y mínimos sin le uso de la derivada. Tímidamente, en 4º de ESO, al tratar el tema de las funciones de 2º grado, aparece a veces como una aplicación algún problema de máximos omínimos para cuya solución basta observar que el problema depende de una función parabólica cuyo máximo o mínimo va a estar en el vértice de dicha parábola. Pero, en Bachillerato, todos los problemas demáximos o mínimos que se plantean están encaminados a que el estudiante utilice la derivada, privándole, incluso, de aquellos problemas en los que se plantean funciones circulares y no sería necesario eluso de la derivada para encontrar los extremos absolutos.

Por otra parte, como todos sabemos, hay muchas situaciones en este campo en las que el cálculo diferencial no puede jugar ningún papel. Aveces harían falta funciones de varias variables, escapándose por tanto del alcance del Bachillerato (por ejemplo, determinar el ortoedro de máximo volumen con superficie total dada) o, incluso, puederesultar imposible plantear cualquier función (por ejemplo, determinar la curva cerrada, de longitud dada, que encierra mayor superficie).

A lo largo de esta charla veremos varios ejemplos en losque, el simple uso de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica, bastará para resolver el problema. Por ejemplo:

1. De todos los cuadriláteros de perímetro dado, el cuadrado es el deárea máxima.
Como veremos a lo largo de la solución de este problema se ha utilizado la desigualdad citada apara dos números [pic] y [pic], es decir, si [pic], [pic] son números positivos es [pic]. Enmuchos otros casos habrá que utilizar la desigualdad anterior para n números, es decir, si [pic] son números positivos, probar que [pic]. Daremos una demostración sorprendentemente corta de este...