maxico comun divisor
Páginas: 7 (1630 palabras)
Publicado: 8 de mayo de 2014
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD O DCM)
EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144 (Más ejemplos)
Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
(¿qué son los números primos?):
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3 1 | 1 ¿Cómo se descomponen los números?
120 = 23.3.5 144 = 24.32
Que es lo mismo que: Que es lo mismo que:
120 = 2.2.2.3.5 144 = 2.2.2.2.3.3
Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente conque aparecen en alguno de los números ("¿menor exponente?").
Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a latercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece. Para más detalle, consultar en la EXPLICACIÓN.
MCD = 23.3 = 8.3 = 24
¿Qué es el MCD o DCM o Máximo Común Divisor o Divisor ComúnMáximo?
EXPLICACIÓN - CONCEPTOS - COMENTARIOS - DUDAS
¿A qué llamo "los factores"?
En este ejemplo, a 2, 3 y 5. Es decir, a los números (primos) que aparecen en la columna derecha de la descomposición de los números (sin contar el 1, que aquí no tiene relevancia).
¿Qué significa "factores que tienen en común"?
Son los factores (primos) que aparecen en la columna derecha de ladescomposición de ambos números.
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3
1 | 1
Mirando las descomposiciones del ejemplo precedente, se puede ver que:
El número 2 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144
El número 3está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144
El número 5 no está en ambas descomposiciones, solamente está en la descomposición del 120. Entonces, el 5 no es un factor que tengan en "común" ambos números.
¿Qué significa "con el menor exponente"?
Podríamos cambiar la idea de "menor exponente" por "la cantidad de veces que aparece el factor primo en la columna derechadescomposición". En nuestro ejemplo, en el número 2 aparece tres veces (23) en la descomposición de 120, y cuatro veces en la descomposición del 144 (24). La menor cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces. Por eso en el MCD ponemos 23.
En cambio el 3, aparece una sola vez en el 120 y dos veces en el 144: La menor cantidad, el menor exponente del 3 es una vez. Por eso en el MCD ponemos31, que equivale a 3.
La relación entre "exponente" y "cantidad de veces que aparece en la columna derecha de la descomposición", viene que, un número, es igual al producto de todos los factores primos que aparecen en la columna derecha de la descomposición. Así:
120 = 2.2.2.3.5
Pero si el 2 está multiplicando 3 veces, eso es lo mismo que 23 por la definición de potencia. Entonces lacantidad de veces que está un factor termina siendo el exponente al que está elevado ese factor:
120 = 23.3.5
¿Cómo hago para descomponer los números?
Por ejemplo, el 120. Busco el número "más chico" que divida a 120 (¿"que divida"?). Resulta ser el número 2. Pongo 2 en la columna derecha, y luego divido 120 : 2 = 60.
Y pongo 60 en la siguiente fila a la izquierda. Así:
120 | 2...
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD O DCM)
EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144 (Más ejemplos)
Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
(¿qué son los números primos?):
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3 1 | 1 ¿Cómo se descomponen los números?
120 = 23.3.5 144 = 24.32
Que es lo mismo que: Que es lo mismo que:
120 = 2.2.2.3.5 144 = 2.2.2.2.3.3
Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los "factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor exponente conque aparecen en alguno de los números ("¿menor exponente?").
Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí remarcados en color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144, lo pongo elevado a latercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece, o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar), porque es la menor cantidad de veces que aparece. Para más detalle, consultar en la EXPLICACIÓN.
MCD = 23.3 = 8.3 = 24
¿Qué es el MCD o DCM o Máximo Común Divisor o Divisor ComúnMáximo?
EXPLICACIÓN - CONCEPTOS - COMENTARIOS - DUDAS
¿A qué llamo "los factores"?
En este ejemplo, a 2, 3 y 5. Es decir, a los números (primos) que aparecen en la columna derecha de la descomposición de los números (sin contar el 1, que aquí no tiene relevancia).
¿Qué significa "factores que tienen en común"?
Son los factores (primos) que aparecen en la columna derecha de ladescomposición de ambos números.
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 | 3
1 | 1 3 | 3
1 | 1
Mirando las descomposiciones del ejemplo precedente, se puede ver que:
El número 2 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144
El número 3está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144
El número 5 no está en ambas descomposiciones, solamente está en la descomposición del 120. Entonces, el 5 no es un factor que tengan en "común" ambos números.
¿Qué significa "con el menor exponente"?
Podríamos cambiar la idea de "menor exponente" por "la cantidad de veces que aparece el factor primo en la columna derechadescomposición". En nuestro ejemplo, en el número 2 aparece tres veces (23) en la descomposición de 120, y cuatro veces en la descomposición del 144 (24). La menor cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces. Por eso en el MCD ponemos 23.
En cambio el 3, aparece una sola vez en el 120 y dos veces en el 144: La menor cantidad, el menor exponente del 3 es una vez. Por eso en el MCD ponemos31, que equivale a 3.
La relación entre "exponente" y "cantidad de veces que aparece en la columna derecha de la descomposición", viene que, un número, es igual al producto de todos los factores primos que aparecen en la columna derecha de la descomposición. Así:
120 = 2.2.2.3.5
Pero si el 2 está multiplicando 3 veces, eso es lo mismo que 23 por la definición de potencia. Entonces lacantidad de veces que está un factor termina siendo el exponente al que está elevado ese factor:
120 = 23.3.5
¿Cómo hago para descomponer los números?
Por ejemplo, el 120. Busco el número "más chico" que divida a 120 (¿"que divida"?). Resulta ser el número 2. Pongo 2 en la columna derecha, y luego divido 120 : 2 = 60.
Y pongo 60 en la siguiente fila a la izquierda. Así:
120 | 2...
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