Maximización de la utilidad con respecto al tiempo

Maximización de la utilidad con respecto al tiempo
Existen ciertas empresas como la explotación de minas y la perforación de pozos petroleros que se
tornan no rentables después de cierto periodo. En tales operaciones, la tasa de ingreso R′(t)
(digamos dólares por mes) puede ser muy alta al inicio de la operación, aunque puede decrecer a
medida que transcurre el tiempo debido al agotamiento delrecurso. Esto es, R′(t) a la larga se
convierte en una función decreciente con respecto al tiempo. Por otra parte, la tasa de costo C′(t)
de operación es pequeña en un principio pero con frecuencia se incrementa a medida que el
tiempo transcurre por el incremento en el mantenimiento, costo de extracción más altos y muchos
otros factores. Por ello, la tasa de costo C′(t) a menudo es una funcióncreciente con respecto al
tiempo. En tales operaciones existe un instante en que el costo de mantener la operación se hace
más alto que el ingreso y la empresa empieza a perder dinero. El administrador de tal operación
afronta el problema de seleccionar un instante para cerrar la empresa que resultaría en la utilidad
máxima obtenida. Denotemos con C(t), R(t) y P(t) el costo total, el ingreso total y lautilidad total
hasta el instante t (medidas desde el inicio de la operación), respectivamente. Se sigue que P(t)
R(t) C(t) y asimismo P′(t) R′(t) C′(t) La utilidad máxima total ocurre cuando P′(t) 0 o bien, R′(t) C′(t)
En otras palabras, la operación debería realizarse hasta el instante t 1, en que R′(t 1) C′(t 1), esto
es, hasta el instante en que la tasa de ingreso y la tasa de costo seaniguales. (Véase la figura 18).
La utilidad total en el instante t 1 está dada por P(t 1) t 1 0 P′(t) dt t 1 0 [R′(t) C′(t)] dt Ésta es la
máxima utilidad que puede obtenerse y sin duda puede interpretarse como el área de la región
acotada por las gráficas de R′(t) y C′(t) situada entre t 0 y t t 1. FIGURA 18 0 t t 1 R
(t) C
(t) Utilidad
máxima SECCIÓN 16-3 APLICACIONES EN LA ADMINISTRACIÓN Y LAECONOMÍA 673 Observación
Puesto que t 0 es el instante en que la operación inicia la producción, el ingreso total R(0) en este
instante es cero. En el análisis anterior, habíamos supuesto también que el costo total C(0) era
cero. En general, esto no puede ser cierto, debido a los costos fijos (esto es, costos de apertura)
que deben realizarse antes de que la producción se inicie. Así que, en la práctica,debemos restar
estos costos fijos de la expresión anterior de P(t 1) a fin de obtener la utilidad máxima real.
EJEMPLO 2 Las tasas de costo e ingreso de cierta operación minera están dados por C′(t) 5
2t 2/3
y R′(t) 17 t 2/3 en donde C y R se miden en millones de dólares y t en años. Determine qué tanto
deberá prolongarse la operación y encuentre la utilidad total que puede obtenerse duranteeste
periodo. Solución El instante óptimo t 1 que dará como resultado la utilidad máxima es el instante
en que las dos tasas (de costo y de ingreso) son iguales. Es decir, En consecuencia, la operación
deberá mantenerse por t 1 8 años. La utilidad que puede obtenerse durante este periodo de 8
años está dada por P 8 0 [R ′(t) C ′(t)] dt P 8 0 [17 t 2/3 (5
2t 2/3)] dt P 8 0 (12 3t 2/3) dt 12t 3
8
0P 96 9 5 (32) 38.2 (millones de dólares) Valor presente de un ingreso continuo En la sección 61 expusimos el concepto del valor presente de un ingreso futuro. En los ejemplos como el que
acabamos de dar, donde un ingreso está repartido a lo largo de un número de años futuros, a
veces es útil calcular el valor presente de este ingreso. Esto puede ser particularmente valioso
cuando una compañíatiene que elegir entre tasas alternativas para explotar sus recursos. Como
en estos casos el ingreso se obtiene continuamente sobre un periodo, es necesario utilizar
descuentos continuos para calcular el valor presente. De acuerdo t 5/3
5/3 C′(t) R′(t) 5
2t 2/3 17
t 2/3 3t 2/3 17 5 12 t 2/3 4 t 43/2 8 674 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA con este método, el
valor presente de un ingreso I...