Maximizacion

Maximización de la Maximización Utilidad
Microeconomía Eco. Douglas Ramírez

Los elementos básicos
• Hemos descrito hasta el momento los elementos básicos del problema de decisión del consumidor – Su conjunto de elección – Sus restricciones – Sus preferencias • Dados unos precios y una riqueza, el comportamiento del consumidor consiste en elegir el mejor plan de consumo posible • El i-ésimoconsumidor elige un consumo xi є B(p,M) que sea un elemento máximo de la relación de preferencia ≿i

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El problema
• El problema de elección se puede transformar en otro equivalente, de más fácil manejo, a través de la descripción de los gustos del consumidor mediante una función continua que representa sus preferencias a la cual llamamos Función de Utilidad • Mediante los axiomas se permiteestablecer una relación de equivalencias sobre el espacio de mercancías (Xi ⊂ RK) donde se define, dentro del conjunto de consumo, los elementos o clases de indiferencias a las cuales se le asocia un numero real de modo que a una clase de indiferencia preferida a otra se le asocia un numero real mayor.

Los bienes económicos
X2 Se prefiere y0 ≥ x 0 Y02 X02

X01

Y01

X1

El áreasombreada representa las combinaciones que se prefieren (y0 ≥ x0) inequívocamente a la canasta (x01, x02). Los individuos prefieren una cantidad mayor de cualquier bien a una menor.

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La función de utilidad como preorden
• En términos más precisos, dado un conjunto completamente preordenado por una relación de preferencia se define una función de valor real que permite su representaciónnumérica, esta representación real se designa con el nombre de Función de Utilidad • Definición: Se dice que una función Ui: Xi → R representa el preorden de preferencias ≿ i cuando para todo xi, yi є Xi se verifica: – Ui(xi) ≧Ui(yi) ↔ xi ≿ i yi

Comentarios
• Sí f: R → R es una función estrictamente creciente, entonces • : f(Ui(xi)) ≧ f(Ui(yi)) ↔ Ui(xi) ≧ Ui(yi) ↔ xi ≿ i yi • De modo que la composiciónde las funciones f y Ui también representan las mismas preferencias, lo cual implica que Ui no es más que una forma de representar la relación de preferencias (≥ i) sin que sus magnitudes concretas posean significación y la magnitud Ui(xi) ― Ui(yi) nos dice que un consumo es mejor o igual que otro y por tanto se puede interpreta como una medida de “cuanto mejor”

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Comentarios
• Bajo lossupuestos establecidos (en particular al tomar Xi=RK+, que es un conjunto no numerable),la existencia de tal función no es un problema menor • El supuesto de continuidad de la función de utilidad permite convertir al problema de elección de consumo en un problema de optimización clásico Máx. Ui (xi) s.a. Xi є B(p,M) • La solución de este problema es la demanda del consumidor Xid(p,M)

Teorema(Debreu,1959)
• Teorema (Debreu,1959): Sea ≿ i una relación de preferencias definida sobre un subconjunto convexo de Rk. La relación de preferencia ≿ i puede representarse mediante una función de utilidad continua sí y sólo si la relación de preferencias, ≿ i, es completa, transitiva y continua

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Existencia de una función de utilidad
• Suponga que las preferencias ≿ i son completas,reflexivas, transitivas y estrictamente monótonas. • Entonces existe una función de utilidad continua U: RK+ → R la cual representa estas preferencias • Definición: Una función U: X → R es una función de utilidad que representa una relación de preferencias ≿ i si para todo x e yєX
x ≿i y ↔ U(x)PU(y)

Definición
• Se supone que las preferencias de los individuos se representan por medio de una funciónde utilidad de la forma
Utilidad =U(x1,x2,…, xn) – Donde (x1,x2,…, xn) son las cantidades consumidas de cada uno de los n bienes que podrían consumirse en un periodo.

• Esta función es única salvo una transformación que preserve el orden de las preferencias

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Notación
• La función de utilidad se utiliza para representar la forma en que una persona ordena determinadas cesta de bienes...