Maximo

MÁXIMOS Y MINIMOS
Marco Antonio Cruz Chávez
UAEM Av. Universidad 1001 Col. Chamilpa C.P. 62210 Cuernavaca Morelos, México
Agosto 18 del 2000
00334858@academ01.mor.itesm.mx

Abstract. En este trabajo se presentan algunos métodos de optimización clásica
relacionados con los máximos y mínimos de funciones no lineales. También se
muestra una explicación del método de optimización simplex parafunciones
lineales por el cual se pueden obtener los máximos y mínimos de una función
restringida.

1 INTRODUCCIÓN.
Desde la década de los 60 la programación lineal (PL) ha sido aplicada en diversas
áreas de la vida como por ejemplo: sistemas militares, agrícolas, económicos, de
transporte y de salud. La PL ofrece bases importantes en el desarrollo de métodos de
solución de otras técnicasde la Investigación de operaciones, como lo son la
programación entera, la estocástica y la no lineal [Taha 1991]. La PL juega un papel
muy importante en el estudio de los problemas continuos de optimización
considerados como la frontera de los problemas de optimización combinatoria, ya que
en los continuos se tienen las características necesarias para que sean considerados
dentro del tipocombinatorio [Papadimitriou and Steiglitz, 1982]: Un problema de
optimización combinatoria siempre se le involucra un conjunto de instancias, donde
cada una de ellas cuenta con un conjunto finito de posibles soluciones (característica
imprescindible de los problemas continuos).
Por otra parte la teoría de optimización clásica se usa para la obtención de los
máximos y mínimos de funciones nolineales restringidas y no restringidas, en los que
se hace uso del calculo diferencial.

2 MAXIMOS Y MINIMOS
Mínimo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un mínimo de la
función si f(X0+h) > f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor
absoluto es suficientemente pequeña.
Máximo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un máximo de lafunción si f(X0+h) < f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor
absoluto es suficientemente pequeña.

Una función puede contener varios máximos y mínimos, identificados por los puntos
extremos de la función. En la figura 1 se puede observar esto, los puntos x1, x3 y x6
son máximos, de la figura notamos que f(x6) es el mayor que f(x1) y f(x3), a este punto
se le conoce comomáximo global de la función y a los restantes como máximos
locales. Lo mismo se puede ver para los mínimos, en los que también existe un
mínimo global f(x2)y un mínimo local f(x4). Como es de lógico, solo puede existir un
solo global y posiblemente varios locales.

Máximo
fuerte

Punto de

inflexió

Máximo
débil

Mínimo
fuerte

Mínimo n
débil

Fig. 1. Representación de máximosy mínimos en una función con una sola variable [Taha
1991].

Una condición necesaria pero no suficiente para que X0 sea un punto extremo, es que
para una función con mas de una variable, el gradiente ∇ f(X0) = 0. Si es cierto esto
entonces X0 será conocido como punto estacionario.
Una condición suficiente para que un punto estacionario sea extremo es que
la matriz Hessiana H obtenida en X0del sistema de ecuaciones sea positiva cuando X0
es un punto extremo de mínimo. Y negativa cuando X0 es un punto extremo de
máximo.
Un máximo débil implica un numero finito de máximos alternativos (ver figura 1) y
se define como X0 es un máximo débil, si f(X0 + h) 0 se tiene que
y
∂ g(X) = ∇g(X)∆X

∂ f(X) = ∇f(X)∆X

(5)

ya que g(X) = 0, entonces ∂ g(X) = 0, se deduce que,

∂ f(X)- ∇f(X) ∂ X = 0
∇g(X) ∂ X = 0
con esto se tienen m ecuaciones con n incógnitas, cuando m < n tenemos, si definimos
a X ahora como:

X = (Y, Z)

Donde
Y = (y1,y2,…,ym) y Z = (z1,z2,…,zn-m)
Indican a las variables dependientes e independientes, respectivamente y que
corresponden al vector X. Volviendo a escribir los vectores gradiente de f y g en
términos de Y y Z se encuentra que...