Maximos Y Minimos Y Ejercicios Practicos

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
MAXIMOS Y MINIMOS PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
( material recopilado solo para uso docente . Diciembre de2009)

Funciones de varias variables
[Si a cada punto (x, y) de una región del plano xy se la hace corresponder un número real z, diremos que z es una función, z = f (x, y), de las variables independientes x e y. El lugar geométrico de todos lospuntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f (x, y) es una superficie. Análogamente se definen las funciones w = f (x, y, z, ...) de varias variables independientes aunque no tengan una interpretación geométrica sencilla.
El estudio de las funciones de dos variables difiere notablemente del de las funciones de una variable. Sin embargo, el cálculo de las funciones de tres o más variables esmuy similar al caso de dos variables.
Límite de una función de dos variables
[Una función f (x, y) tiende al límite A cuando [pic]e [pic], si dado un ε > 0 tan pequeño como queramos, existe un δ > 0 tal que, para todos los pares de valores (x, y) que cumplan la desigualdad
|[pic] | (i) |


se verifica: [pic]. Lacondición (i) representa un intervalo reducido del punto (x0, y0), es decir, todos los puntos excepto el propio (x0, y0), situados en un círculo de radio δ y centro (x0, y0).
Continuidad de una función de dos variables
Una función f (x, y) es continua en el punto (x0, y0) siempre que f (x0, y0) esté definida y, además,
[pic]
Derivadas parciales de una función de dos variables
Sea z = f (x,y) una función de las variables independientes x e y. Como x e y son independientes, podremos (i) variar x manteniendo constante y y, (ii) variar y manteniendo constante x, (iii) variar x e y simultáneamente. En los dos primeros casos, z es una función de una sola variable y se puede hallar su derivada de acuerdo con las expresiones clásicas que ya hemos visto.-1-



Si x varía permaneciendo constante y, z es una función de x y su derivada con respecto a esta variable x,
[pic]
se denomina primera derivada parcial de z = f (x, y) con respecto a x.
Si lo que varía es y permaneciendo constante x, z es una función de y y su derivada con respecto a y
[pic]
recibe el nombre de primera derivada parcial de z = f (x, y) conrespecto a y...
Las derivadas parciales anteriores admiten una interpretación geométrica muy sencilla. Consideremos la superficie z = f (x, y) de la Fig. 56-1, y sean APB y CPB las intersecciones con dicha superficie de los planos que pasando por P sean paralelos a los xOz e yOz, respectivamente. Si hacemos variar a x permaneciendo constante y, el punto P se desplazará a lo largo de la curva APBy el valor de δz/δx en el punto P es la pendiente de la curva APB en P.
[pic]
Fig. -1.
Análogamente, si hacemos variar y permaneciendo constante x, P se moverá a lo largo de la curva CPD, y el valor de δz/δx en P es la pendiente de la curva CPD en P

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Máximos y Mínimos para funciones de 2 variables .-

Extenderemos ahora los conceptos de Máximos y Mínimos relativos ( o extremosrelativos ) para las funciones de dos variables.
Objetivo: Analizar máximos relativos y Mínimos relativos, encontrar puntos críticos y aplicar la prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables.
Definición : Se dice que una función z = ƒ(x) tiene un máximo relativo en el punto

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(X o;Yo) , esto es , cuando X= X o y Y = Y o , si para todo punto ( x,y ) en el plano que esté lo suficientemente cercano a ( Xo,Yo ) se tiene ƒ ( Xo,Yo ) ≥ ƒ (x,y)
En caso Contrario se dice que una función z = ƒ(x) tiene un mínimo relativo en el punto( X o ; Y o ) , esto es , cuando X = X o y Y = Y o , si para todo punto ( x,y ) en el plano que esté lo suficientemente cercano a ( Xo,Yo ) se...