Maximos y minimos

3.2.1 Máximos y mínimos programación no lineal
Puntos minimax. 
El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la solución de un problema de optimización. Si bien sudefinición no le hace útil a la hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En estasección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el punto de silla de la lagrangiana. 
 
La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no lineal seobtiene de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que: 
 Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+ 
Si gi (x) – bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) - bi] ≤ 0, luego 
 Max ëi ( gi (x) − bi )= 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë ) = f (x) .R m+ Si gi (x) – bi > 0, entonces Sup ëi [gi(x) - bi] = ∞, por lo que en este caso no se alcanza el R m+ mínimo de laLagrangiana. 
 Por tanto, 
 Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D        R m+                                        X 
 Así pues, si (x0, ë0) es un punto minimax, x0  es una solución óptima del problemaoriginal. 
Pasamos ahora a dar los teoremas que relacionan los conceptos de punto de silla de L y punto minimax. Veremos que dicha relación es casi una equivalencia, en el sentido de que todo  punto minimax  es  punto  de  silla,  y  todo  punto  de  silla  es  un  punto  minimax considerado sobre conjuntos mas restringidos. 
 
Como hemos expuesto anteriormente, para obtener el teorema recíproco esnecesario restringir los conjuntos de definición del punto minimax. Previamente, hemos visto que la primera parte de la igualdad debe ser de la forma 
 
 Definimos, por tanto, 
N = {ë ∈ R m +  /∃ Max ( f ( x ) − ët [g(x) − b ])},  N ⊂ R m + 
Entonces, la segunda parte de la igualdad se debe expresar como sigue: 
Min Max L (x, ë ) 
Por tanto, el punto minimax que buscamos ahora es de la...