maximos y minimos

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE YUCATAN
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CENTRO DE ASESORIAS DE MATEMATICAS

MINICURSO: ”M´ximos y m´
a
ınimos”
M´rida, Yucat´n a 17 de Noviembre del 2012
e
a

Definici´n. Sea f una funciondefinida en un intervalo [a, b]. Decimos que f es creciente en [a, b] si para
o
todo x1 y x2 en [a, b] tales que x1 ≤ x2 implica que f (x1 ) ≤ f (x2 ).
De manera similar decimos que f es decrecienteen [a, b] si para todo x1 y x2 en [a, b] tales que x1 ≤ x2
implica que f (x1 ) ≥ f (x2 ).

decreciente
creciente
Teorema. (Criterio de la primera derivada) Sea f una funci´n definida y derivableen un intervalo [a, b].
o
a) Si f > 0 en el intervalo [a, b] la funci´n es creciente en dicho intervalo.
o
b) Si f < 0 en el intervalo [a, b] la funci´n es decreciente en dicho intervalo.
oDefinici´n. Sea f una funci´n definida en un intervalo [a, b]. Decimos que f tiene un m´ximo en el punto
o
o
a
c ∈ [a, b] si para todo numero x ∈ [a, b] pasa que f (x) ≤ f (c).
De manera similar decimosque f tiene un m´
ınimo en el punto c ∈ [a, b] si para todo numero x ∈ [a, b] pasa
que f (x) ≥ f (c).
Ejemplo: Lan funci´nn f (x) = x2 tiene un m´
o
ınimo en el punto x = 0.

Si c es un m´ximoo un m´
a
ınimo de f decimos que c es un punto extremo.
Teorema. (Anulaci´n de la derivada en un punto extremo) Sea f una funci´n definida en un intervalo [a, b].
o
o
Si f tiene un punto extremoen c y f (c) exite entonces f (c) = 0.
Es importante notar que el hecho de que la derivada se anule en c no implica necesariamente que c sea un
punto exremo. Por ejemplo, para la funci´n f (x) = x3tenemos que f (0) = 0, pero x = 0 no es un punto
o
extremo.

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Ejemplos. Hallar los puntos donde la derivada se anula de las siguientes funciones y verificar
graficamente si se trata de un m´ınimo, un m´ximo o ninguno de los dos.
a
a) f (x) = −x2 + 3
b) f (x) = (x + 1)3 + 2
c) f (x) = cos(x)
Ejercicios para el sal´n. Hallar los puntos donde la derivada se anula de las siguientes...