Maximos Y Minimos

1.- Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:

a. La suma de las áreas delas dos figuras sea máxima.
b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

Solución:
Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos.
Si x es la longitud de lacircunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia es x2π y el lado del cuadrado es 100-x4
Si A (x) es la función que representa la suma deambas áreas, se tiene entonces:
A(x) = 12πx2 + 16(100-X)2; 0<=x<=100. ------ (1)
Puesto que A (x) es una función continua en el intervalo [0, 100], entonces, existe un valor máximo y un valormínimo de A (x) en [0, 100].
Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:
A´(x)= 14π*2x+16*2(-1) (100-x)
= x2π - 100-x8 = 0
X=100π4+π
Es el únicopunto crítico y pertenece al intervalo [0, 100] (Porqué?).
Además, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimo relativo.
Ahora, los valores máximo y mínimo de A (x) estáentre los valores: A (0), A (100) y
A (100π4+π)
Pero: A (0) = 14π* 02+116 *(100-0)2 = 100216
A (100) = (1/4π )*1002 +1/6(100-100)2 = 100/4π
A(100 π4+ π) = ¼(100 π /4+ π)2 +1/16(100 – 100 π /4 + π)2 =100216+4π
Como 4 π < 16 <16+4 π entonces:
116+4π < 116 < 14π Y de esta última desigualdad, se deduce que:
(1002/16 + 4 π) < 1002/16 < 1002/4 π Entonces A(100 π4+ π) < A (0)< A (100).
De esta forma, la última desigualdad indica que el área máxima se obtiene para x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con el una circunferencia, mientras que el área mínima seobtiene partiendo el alambre a una distancia 100 π 4 + π de uno de sus extremos, y, formando con esta primera parte una circunferencia y con la parte restante 400 4 + π un cuadrado.
2. La...