maximos y minimos

Recordemos ….
Máximos y mínimos (o extremos de una función): Método
Dada la función
y = f(x)
1) Derivamos y hacemos f’(x) = 0
Obtenemos las raíces:
x1 = a
x2 = b
[Puede existir una mayor o menor cantidad de raíces, dependiendo su número, del grado de la ecuación y=f(x)]

Que son los valores de “x” en donde se encontrarán los puntos Max o Min
2) Para hallar los puntos Max o Min primeroreemplazamos “a” y luego “b” en la ecuación inicial y hallamos
y1 = c
y2 = d
Tendremos entonces los puntos
(x1, y1) = (a, c)
(x2, y2) = (b, d)
Pudiendo corresponder a un máximo o a un mínimo o a la inversa.
3) Determinamos ahora, de los dos puntos anteriores, cual es el máximo y cuál es el mínimo:
Tomamos la segunda derivada:
f”(x) y reemplazamos primero “a” y luego “b”
si alreemplazar “a” encontramos
f’’(a) > 0 el punto (a, c) es un mínimo
y si al reemplazar “b” encontramos
f’’(b) < 0 el punto (b, d) es un máximo





Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Método
1) Dada f(x) hallamos su primera derivada f´(x)
2) Hacemos f’(x)=0 para hallar los puntos críticos
3) Tomamos un punto cualquiera dentro de cada intervalo y lo reemplazamos en f’(x)
4) Si f’(x)>0 escreciente, Si f’(x) 0 y el posterior < 0 el punto es un máximo relativo y si
El intervalo anterior < 0 y el posterior > 0 el punto es un mínimo relativo




Extremos absolutos: Método
A diferencia del caso anterior donde se trabajó tan solo con los máximos y mínimos dentro de cada intervalo sin considerar los extremos del intervalo; para los extremos absolutos vamos a tomar en cuentaestos.
Seguimos los mismos pasos que en caso anterior
Dada una función f(x) continua en [a,b], hallar sus extremos absolutos
1) Hallamos la primera derivada f´(x)
2) Hacemos f’(x)=0 para hallar los puntos críticos dentro de [a,b] (supongamos que sean “c” y “d”)
3) Tomamos ahora tanto los valores de los puntos críticos “c” y “d” así como los extremos del intervalo “a” y “b”, hallando
f(a) = y1f(b) = y2
f(c) = y3
f(d) = y4
Tomamos como extremos absolutos los valores máximos y mínimos de “y”






Puntos de Inflexión
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de “x” de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la segunda derivada de la función f(x) en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En elcálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.


Punto de ensilladura
Pasos para determinar un punto de inflexión
1. Se halla la primera derivada de 
2. Se halla la segunda derivada de 
3. Se halla la tercera derivada de 
4. Se iguala la segunda derivada a 0: 
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posiblesde la misma: .
6. Se halla la imagen de cada sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada :
1. Si , se tiene un punto de inflexión en .
2. Si , debemos sustituir  en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que  no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
1. Si la derivada es impar, setrata de un punto de inflexión.
2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.



Ejemplo
Hallar los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Solución
Hallamos la segunda derivada
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
Hallamos la tercera derivada
f'''(x) = 6 ≠ 0
Por lo tanto x=0 será un punto de inflexión; hallemos ahora f(0)
f(0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
Tendremos entonces que elpunto de inflexión estará en:
(0, 2)




Ejemplo

Hacemos f’’(x) = 0 para determinar los puntos de inflexión

Hallamos la tercera derivada
f’’’(x) = 6 ≠ 0
y observamos que es diferente de cero lo cual nos indica que se trata de un punto de inflexión
Hallamos f(1) = -2
Por lo tanto el punto de inflexión estará en (1, -2)













Ejemplo
Sea
.
Hallar sus...