Maximos y Minimos

Máximos y mínimos

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectiva-mente como extremos de una función, son losvalores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular dela curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).1 2 3 De manera más general, los máximosy mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizarvalores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.


Máximos
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo olocalsi se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de los máximos y mínimos relativos
f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos susraíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera ysi:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos laimagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)