Maximos Y Minimos

“Año de la Unión Nacional frente a la Crisis Externa”























TEMA : Máximos y mínimos




CURSO : Análisis Matemático III




ALUMNOS : Vicuña De La Cruz, Diego


Mendoza Babilón, Alex


Flores Álvarez, Valentín




PROFESOR : Ing. Julio CárdenasCARRERA : Ingeniería Industrial




2009






Máximos y mínimos
(Extremos condicionados)

❖ Determinación de un máximo, mínimo o punto silla en funciones de dos variables




Máximos y mínimos de una función

Un valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente, de forma similar un valor de unafunción es un mínimo si es menor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente.

Procedimiento para calcular máximos y mínimos de una función

1. Se halla la primera derivada de la función
2. Se iguala la primera derivada a cero y se encuentran las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable.
3. Seconsideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada. Si el signo de la derivada es primeramente positivo y después negativo, la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable; en el caso contrario, tienen un valor mínimo. Si el signo no cambia, la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.

Ejercicio 1.
Dada lafunción [pic], encontrar si existe un máximo o un mínimo.

Solución
[pic]
Paso 1. [pic]
Paso 2.Resolviendo la ecuación f’(x)=0, tenemos:
[pic] , que es el valor crítico.
Paso 3. Cuando x5 [pic], entonces [pic] y f’(x) es negativo.
Puesto que el signo de la derivada cambia de positivo a negativo, la función tiene un valor máximo.

Ejercicio 2.
Calcular los máximos y los mínimos de la función:[pic]
Solución
[pic]
Paso 1. [pic]
Paso 2. [pic]
Luego x=(1,-1,1/5); es decir, los valores críticos.
Paso 3. [pic]
• Examinemos primero el valor crítico x=1:
Cuando x1, f’(x)=5 (+)(+)[pic](+) = +
Luego con x=1, la función tiene un valor mínimo f(x)=0


• Examinando ahora el valor crítico x=1/5:
Cuando x1/5, f’’(x)=5 (-)(+)[pic](+) = -


Luego, cuandola función tiene un valor crítico x=1/5, la función tiene un valor máximo f(1/5) = 1.11

• Examinemos ahora por último, el valor crítico x= -1:
Cuando x-1, f’(x)=5 (-)(+)[pic](-) = +
Luego cuando x=1, la función no tiene máximo ni mínimo.

El procedimiento es similar al utilizado para las funciones de una sola variable.

Se dice que una función z=f(x,y) tiene un máximorelativo en x=a y y=b, si para todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):
f(a,b) [pic] f(x,y)
Un máximo relativo suele aparecer en la parte superior de un montículo de la superficie que representa a f(x,y).

Se dice que una función z=f(x,y) tiene un mínimo relativo cuando x=a y y=b, si para todos los puntos (x,y) “suficientemente cercanos” a (a,b):
F(a,b) [pic] f(x,y)
Un mínimorelativo suele aparecer en la parte inferior de un montículo de la superficie que representa a f(x,y).

Realizaremos como recordatorio sólo un ejercicio de localización de máximos y mínimos relativos en funciones de una sola variable; los siguientes ejercicios serán para funciones de dos variables.

Ejercicio 3.
[pic]
Solución

Los pasos para la obtención de máximos y mínimos por elcriterio de la primera y segunda derivada son:

I. Obtener la primera derivada de la función,
II. Igualar la función a cero,
III. Resolver para [pic], en donde i = 1,2, ..., n. Los cuales al ser representados gráficamente, son los puntos críticos de la inflexión en la curva de la función,
IV. Para obtener la coordenada de y de los puntos críticos se sustituyen los valores...