Maximos y minimos

CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD lV

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

APLICACIÓN ECONÓMICA DE LA DERIVADA.

Los científicos de todos los campos se interesan por las razones de cambio promedio e instantáneas. Los economistas están particularmente interesados en las tasas marginales, el ingreso marginal, la utilidad marginal, el producto marginal, etc. todos los cuales se miden utilizando matemáticamente laderivada.

La derivada de una función (´(x), es una función que mide, como lo hemos visto, la pendiente y la razón de cambio instantánea de la función original ((x) en un punto dado.

Dada una función y = ((x); la derivada de la función (() en (x) que se expresa (´(x) o dy/dx, se define:

(´(x) = lím ((x + ∆x) - ((x) si existe el límite.
∆x ( 0 ∆x

Consideremos una empresa que produce unbien. Sea:

C(x) = costo de producción de (x) unidades.
R(x) = ingreso por venta de (x) unidades.
((x) = R(x) - C(x) = beneficio de producción (y venta) de (x) unidades.

Llamamos a C´(x) el costo marginal en (x), a R´(x) el ingreso marginal, y a (´(x) el beneficio marginal. Los economistas usan a menudo la palabra marginal de esta manera con el significado de derivada.El costo marginal, por ejemplo, se define como el cambio en el costo total asociado con un pequeño cambio en la cantidad producida, se mide con la derivada de la función costo total. Así, el costo marginal es el costo adicional de producir una unidad más de (x).

Otros ejemplos del uso de la derivada en economía son: La propensión marginal al consumo que es la derivada de la función de consumocon respecto al ingreso (dC/dY), análogamente, el producto marginal del trabajo (o productividad marginal del trabajo) es la derivada de la función de producción respecto al trabajo (dY/dL).

Ejemplo.

Dada una función de ingreso total R(x) = 50x - 2x2; para una firma monopolística la función ingreso marginal (RM), se obtiene simplemente determinando la derivada (R´(x)).

Solución

Como:(´(x) = lím ((x + ∆x) - ((x)
∆x ( 0 ∆x

dado que: R(x) = 50x - 2x2

donde: ((x + ∆x) = (50(x + ∆x) -2(x + ∆x)2(

((x) = 50x - 2x2

entonces:

(´(x) = lím (50(x + ∆x) -2(x + ∆x)2( - (50x - 2x2)
∆x ( 0 ∆x

(´(x) = lím (50x + 50∆x -2(x2 + 2x∆x + (∆x)2)( - (50x - 2x2)
∆x ( 0 ∆x

(´(x) = lím (50x + 50∆x -2x2 - 4x∆x - 2(∆x)2( - 50x + 2x2
∆x ( 0 ∆x

(´(x) = lím (50∆x -4x∆x - 2(∆x)2(
∆x ( 0 ∆x

(´(x) = lím ∆x (50 - 4x - 2(∆x)(
∆x ( 0 ∆x

(´(x) = lím (50 - 4x - 2(∆x)(
∆x ( 0

Aplicando límite:
(´(x) = (50 - 4x)

Empleando el ingreso marginal RM = 50 - 4x; el ingreso adicional que se deriva de la venta de una unidad adicional se puede calcular para diferentes niveles de venta. Si la firma tiene actualmente seis unidades:

RM(6) = 50 - 4(6) =50 - 24 = 26

A medida que aumenta las ventas de seis a siete unidades, el ingreso total aumenta en aproximadamente 26 unidades monetarias. De donde si las ventas actuales son de nueve unidades.

RM(9) = 50 - 4(9) = 50 - 36 = 14

El ingreso total en x = 9, sólo aumenta en cerca de 14 unidades monetarias por unidad vendida, manifestando el hecho de que la firma en competencia monopolísticadebe bajar precios para aumentar las ventas.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

Consideremos una función (() definida en un intervalo cerrado (a,b( y suponiendo que tiene una gráfica (Figura 4.1) conexa y si esquinas. Como la gráfica de (() une A y B por una curva conexa con tangente en cada uno de sus puntos, es geométricamente viable que, para al menos un valor de (x) entre (a) y (b), la tangente seaparalela a la recta AB. En la Figura 4.1, la recta AB tiene pendiente igual a (((b) - ((a)/(b - a)(. Por lo tanto, para que la tangente en (x, ((x)) sea paralela a la recta AB, se tiene que verificar que (´(x) = (((b) - ((a)/(b - a)(. De hecho, se puede elegir (x) siempre de tal forma que la distancia vertical entre (x, ((x)) y AB sea la mayor posible.

y

B
y = ((x)

((b) - ((a)...