Maximos y Mininos

Máximos y Mininos de una Función.
Son múltiples y variados los problemas cuyo planeamiento requiere como solución optima la búsqueda de un valor máximo o de un valor minino de una función sobre un conjunto especifico de valores de la o las variables que intervienen en un problema. Para resolverlo se recurre a una herramienta muy ponente: el calculo.
Antes de proceder el planeamiento de estetipo de problemas es necesario establecer los conceptos teóricos que sirven de apoyo para comprenderlos, planearlos y resolverlos.
DEFINICION:
Se dice que en una función F tienes un valor Máximo Relativo con C si existe un intervalo abierto que contiene a C y sobre cual F se define de manera que F (C) › F (X) para toda X en el intervalo. (véase en la figura siguiente).



DEFINICION:
Unafunción F se dice que tiene un valor Minino Relativo en C si existe un intervalo abierto que contiene a C y sobre el cual F se define F (C) › F (X) para toda X en el intervalo. (vease en la figura siguiente).
Si la función F tiene una valor máximo relativo o valor mínimo relativo en C entonces F tiene un extremo relativo.
La determinación de los posibles valores de C para los cuales existe unextremo relativo se apoya en el siguiente teorema.


CRITERIOS PARA LA OBTENCION DE MAXIMOS Y MINIMOS.

Teorema del Valor Extremo.
Si la función F es continua en un intervalo cerrado (a,b) entonces F tiene un valor máximo absoluto y un valor minino absoluto en (a,b).
Con base en este teorema y a partir de la definición de numero critico, se puede determinar el valor máximo absoluto y el valormínimo absoluto de una función continua en un intervalo (a,b) por el siguiente procedimiento.
1. Se evalúa la función en los números críticos de F en (a,b)
2. Se encuentra F (a) y F (b).
3. De los valores encontrados en (1) y (2) el mayor es el valor máximo absoluto y el menor es el valor mínimo absoluto.


Ejemplo:
1. Encuentra los extremos absolutos de F(x) = -2x3 + 3x2 en (1/2,2)
Solución.La derivada de F es:
F’ (x) = -6x2 6x
Igualando la derivada con cero, se obtiene:
-6x2 + 6x = 0
-6x (x-1) = 0
De donde:
X = 0, x = 1
Por lo tanto , los puntos críticos de la función son -1/2, 0, 1 y 2.
Evaluando la función F en sus valores críticos, se obtiene:
F (-1/2) = -2 (-1/2) + 3 (-1/2)
= -2 (-1/8) + 3 (1/4)
= 2/8 + 3/4 = 1

F (0)= -2(0)3 +3(0)2
= 0 +0 = 0F(1)= -2(1)3 + 3(1)2
= -2 + 3 = 1
F(2)= -2(2)3 + 3(2)2
= -2(8) + 3(4)
= -16 + 12 = -4
Por lo tanto el valor máximo absoluto es 1, que se obtiene en
X= -1/2 YX = 1 y el valor mínimo absoluto es -4 cuando X = 2.

2. Encuentra los extremos absolutos de la función continua.
F(x) = x2/3 en (-1.2)
Solución:
La derivada de la función es:
F’(x) = 2/3 x1/3
Lo cual nunca es cero, Como f(0)no existe, cero es un numero critico junto con -1 y 2.
F(-1) = (-1) 2/3
= 3(-1)2
= 1
F(0) = 0
F(2) = 22/3
= 322
= 34
En consecuencia, el valor máximo absoluto es 34 y el valor mínimo absoluto es 0.



MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS
APLICACIONES DE LA DERIVADA.
Aplicaciones que incluyen un extremo absoluto en un intervalo cerrado.

Veamos dos ejemplos de problemas cuya solución es unextremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Para resolverlos se aplica el teorema del valor extremo.
1- Con una pieza cuadrada de cartón que mide 60 cm por lado se quiere construir una caja abierta cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando hacia arriba. ¿Cual debe ser la longitud del lado x de los cuadrados que se recortan para que la caja tenga un volumenmáximo?
Solución:
Sea x el lado del cuadrado que se va a recortar y v el volumen de la caja.
La función queda el volumen de la caja es:
V = (60 -2x) (60 -2x) x
=3600x – 240x2 + 4x
= 4x2 – 240x2 + 3600x
En este caso la función es de una sola variable.
Los valores de x no pueden ser menores que cero ni mayores que 30, por tanto el problema consiste en maximizar V en (0.30)
La derivada de V...