Maximos

¿Cómo optimizamos en varias variables?
Introducción
La optimización intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide lacalidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema. Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) ominimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible. Según el nivel de generalidad que tome el problema, nos encontramos los siguientes tipos de optimizaciones:  Optimización clásica: En este campo nos moveremos en este artículo. Si la

restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igualnúmero de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.
 Optimización con restricciones de desigualdad: Si la restricción contiene mayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se puedenencontrar los valores máximos o mínimos.Si tanto restricciones como

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función objetivo son lineales (Programación lineal), la existencia de máximo (mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicación de unos simples algoritmos de álgebra lineal elemental los llamados método simplex; y método dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condicionesde Khun -Tucker, las cuales en algunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrar puntos críticos, máximos o mínimos. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de una programación no lineal séa óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange Optimización estocástica: Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica. Optimización con información no perfecta: La cantidad de variables, o más

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aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable.
Este tipo de optimización Lagrange lo aplica al campo de laAstronomía, en el estudio de los denominados puntos L o puntos de libración, que son las cinco posiciones en un sistema orbital donde un objeto pequeño sólo afectado por la gravedad puede estar teóricamente estacionario respecto a dos objetos más grandes, como es el caso de un satélite artificial con respecto a la Tierra y la Luna. Los puntos de Lagrange tamarcan las posiciones donde la atraccióngravitatoria combinada de las dos masas grandes proporciona la fuerza centrípeta necesaria para rotar sincrónicamente con la menor de ellas. Son análogos a las órbitas geosincrónicas que permiten a un objeto estar en una posición "fija" en el espacio en lugar de en una órbita en que su posición relativa cambia continuamente. Una definición más precisa pero técnica es que los puntos de Lagrange son lassoluciones estacionarias del Problema de los tres cuerpos restringido a órbitas circulares. Si, por ejemplo, se tienen dos cuerpos grandes en órbita circular alrededor de su centro de masas común, hay cinco posiciones en el espacio donde un tercer cuerpo, de masa despreciable frente a la de los otros dos, puede estar situado y mantener su posición relativa respecto a los dos cuerpos grandes. Visto...