maximos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
1. Dividir el número 10 en dos partes tales que el producto del cuadrado de una de ellas por el
cubo de la otra sea máximo.

X = es una parte
Y = 10 - X

5X 2 = 0

Z = X 3Y 2

( X − 10)( X − 6)
X = 10 ∨ X = 6

Z = X (10 − X )
3

X 2 − 16 X + 60 = 0

2

Z = X 3 (100 − 20 X + X 2 )

Y = 10 - 10 = 0

Z = 100 X − 20 X + X

Y = 10 - 6 = 4
El producto máximo se obtiene

3

4

5

Z `=300 X − 80 X + 5 X
2

3

4

300 X 2 − 80 X 3 + 5 X 4 = 0

cuando X y Y son iguales, res -

5 X 2 (60 − 16 X + X 2 ) = 0

pectivamente, a 6 y 4.

2. De una pieza cuadrada de cartón de 12 cm. De lado se ha cortado un cuadrado pequeño en
cada esquina tal que al doblar los bordes, se forma una caja de base cuadrada. Hallar la
medida que deben tener los lados de los cuadrados que se recortan para quela caja tenga un
volumen máximo.

V = X (12 − 2 X ) 2
V = X (144 − 48 X + 4 X 2 )
V = 144 X − 48 X 2 + 4 X 3
V ' = 144 − 96 X + 12 X 2
12(12 − 8 X + X 2 ) = 0
(12 − 8 X + X 2 ) = 0
( X − 6)( X − 2) = 0
Si sustimos en V tenemos :
X=6

V = 6(12 - 12) 2 = 0

X=2
V = 2(12 - 4) 2 = 128
X = 2 es la medida máxima de los lados

1

3. A 8 dm de distancia de la pared de una casa hay una tapia de 27 dm dealtura. ¿Cuál será la
longitud de la escalera de mano más corta, que desde el suelo y rasando la tapia se apoye en la
pared de la casa?
L=H+K
H
csc θ =
27
H = 27 csc θ
K
sec θ =
8
K = 8 sec θ
Al sustituir se tiene :
L = 27 csc θ + 8 sec θ
L ′ = −27csc θ cot θ + 8 sec θ tan θ
Se iguala a cero.
− 27csc θ cot θ + 8 sec θ tan θ = 0
senθ
cos θ
− 27
+8
=0
2
sen θ
cos 2θ
− 27 cos 3 θ + 8sen 3θ
=0
sen 2θcos 2 θ
− 27 cos 3 θ + 8sen 3θ = 0

K

θ
8

H
θ

27

- 27 + 8tan 3θ = 0
3
2
⎛3⎞
θ = tan −1 ⎜ ⎟
⎝2⎠
θ = 56,31º
tan θ =

L = 27 csc 56,31º +8 sec 56,31º

Si se divide entre cos θ se tiene :

L = 46,87 dm Esta es la escalera más corta

3

4. Un hombre está en un barco situado a 5 Km del punto más próximo de playa rectilínea. Si
desea llegar en el menor tiempo posible a un lugar que está a 5 Km a lolargo de la orilla de aquel
punto, y puede remar a 4 Km por hora y correr a 6 Km por hora, ¿ Donde deberá desembarcar?
P
5 x

5-x
Q

2

t=

d
V

3 x − 2 25 + x 2

25 + x 2 5 − x
+
t=
4
6
⎞ 1
1⎛
2x
⎟−
t ' = ⎜⎜
4 ⎝ 2 25 + x 2 ⎟⎠ 6

=0

6 25 + x 2

3 x − 2 25 + x 2 = 0
3 x = 2 25 + x 2

(

9 x 2 = 4 25 + x 2

x
1⎞
1⎛
t ' = ⎜⎜
− ⎟⎟
2 ⎝ 2 25 + x 2 3 ⎠
t' = 0
x
1
− =0
2
3
2 25 + x

)

9 x − 4 x = 100
22

5 x 2 = 100
x 2 = 20
x = 20
Este es el tiempo más corto

5. Una estatua de a metros está colocada sobre un pedestal cuya parte alta está b metros por
encima de los ojos del observador. ¿A qué distancia deberá colocarse el observador para
conseguir la mejor visualización de la estatua?

β =θ −α
⎛a+b⎞
⎟
⎝ d ⎠
⎛b⎞
α = tan −1 ⎜ ⎟
⎝d ⎠

a
β
α

θ

θ = tan −1 ⎜

b

d
Se desea hallar el ángulo β máximode elevación

3

⎛a+b⎞
−1 ⎛ b ⎞
⎟ − tan ⎜ ⎟
⎝ d ⎠
⎝d ⎠
− (a + b )
−b
2
d
d2
−
β '=
2
2
⎛a+b⎞
⎛b⎞
1+ ⎜
1+ ⎜ ⎟
⎟
⎝ d ⎠
⎝d ⎠
− (a + b )
b
2
2
+ 2d 2
β '= 2 d
2
d +b
d + (a + b )
2
d2
d
− (a + b )
b
+ 2
β '= 2
2
d + b2
d + (a + b )

β = tan −1 ⎜

β '=

(

) [

− (a + b ) d 2 + b 2 + b d 2 + (a + b )

(d

2

)[

+ b d + (a + b )
2

2

2

]

2

]

]
(
) [
− (a + b )(d + b ) + b(a + b ) + bd = 0
− a (d+ b ) − b(d + b ) + b(a + b ) + bd
− (a + b ) d 2 + b 2 + b d 2 + (a + b ) = 0
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=0

− ad − ab − bd − b + b(a + b ) + bd = 0
2

2

[

2

2

3

2

]

− ad 2 + b (a + b ) − b 2 − ab = 0

(

2

)

− ad + b a + ab = 0
2

2

− d + b(a + b ) = 0
2

d 2 = b(a + b )
d = b(a + b )

5. Hallar la altura del rectángulo de área máxima que se puede inscribir a una circunferenciade
radio R.

Area del rectángulo
A = pk
A = 4 xy

(x,

y = r 2 − x2
A = 4x r − x
2

p = 2x
2

⎛
2x 2
A' = 4⎜⎜ r 2 − x 2 −
2 r 2 − x2
⎝
⎛ r 2 − x2 − x2
A' = 4⎜⎜
2
2
⎝ r −x
r 2 − 2x 2 = 0
x=
P=2

r 2 − x2

⎞
⎟
⎟
⎠

⎞
⎟
⎟
⎠

k

r2
2
r2
= 2r
2

4

=

2

y

)

K = 2 r2 −

La figura de area máxima que se puede inscribir

r2
2

en la esfera es un cuadrado de dimensión 2r

r2
= 2r
2

K =2

5. Hallar la...