Maxiterminos

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de unsistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

DefiniciónUna álgebra de Boole es una tripleta (\mathfrak{B},+,\cdot). Donde \mathfrak{B}\neq\phi, + y \cdot son operaciones internas en \mathfrak{B} y además para cualquier x,y,z\in\mathfrak{B} se cumplen los siguientes axiomas:

Minterm
Un minterm (o minitérmino) es una expresión algebraica booleana de n variables booleanas (ej: bits) que solamente se evalúa como verdadera (1) para una únicacombinación de esas variables, es la expresión opuesta a la maxterm
La notación es la siguiente:
| | Coincidencia |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
esto es

ya que la primera fila (0) y la última (3) tiene como valor 1 del minterm.

Un minterm se forma multiplicando (AND lógico) todas las variables, negando aquellas que valen 0 en la combinación para la cual queremos que elminterm valga 1. Para n variables booleanas, existen 2n minterms, uno para cada posible combinación de ellas.
Se emplean para obtener la forma canónica disyuntiva de una función lógica.
[editar] Notación abreviada
Es habitual emplear la notación mi para referirse al minterm i-ésimo en concreto. El minterm i es aquel que vale 1 sólo para la combinación de variables booleanas que codifican enbase 2 dicho número i.
Por ejemplo:
- Para 3 variables {a,b,c}, el minterm m5 será aquel que solamente vale 1 para la combinación abc=101(=5 en base 2), esto es, m5=a.b.c
- Para 4 variables {a,b,c,d}, el minterm m5 es m5=a.b.c.d (abcd=0101=5)
- El minterm m13 para 5 variables será m13=a.b.c.d.e (abcde=01101=13)

[editar] Ejemplo
Basados en una función de 3 variables (a, b, c), y considerandola dificultad de poner el negado de una variable como una barrita superior (aunque el apóstrofe es también utilizado), tenemos lo siguiente:

f(a,b,c) = (a+bc+ac)b <-Forma no normalizada

+Intentaremos expresarlo en mintérminos, por lo cual demanda una interpretación normalizada de Suma de Productos (Normalizada = SP)
Expresión | Comentarios |
= (a+bc+ac)b | Variable "b" entreparéntesis se incluye en cada producto |
= (a*b)+(bc*b)+(ac*b) | Eliminar signo de multiplicación |
= (ab)+(bbc)+(abc) | Eliminar términos por ley de identidad |
= (ab)+(abc) | Forma normalizada (SP) |
+Intentaremos expresarlo en mintérminos, basados de la forma normalizada "Suma de Productos"
Expresión | Comentarios |
= (ab)+(abc) | Agregar variables faltantes a cada término |
= (ab*c+c)+(abc)| Despejar en la forma SP |
= (ab*c)+(ab*c)+(abc) | Eliminar signo de multiplicación |
= (abc)+(abc)+(abc) | Forma canónica |
= m7 + m6 + m3 | Forma expresada en suma de mintérminos |
= m(3,6,7) | Forma en función de mintérminos |
+De este modo tenemos los mintérminos, lo cual facilita (sobretodo cuando son 3 o más variables) encontrar la solución de la función. En la tabla de verdad,los mintérminos se representan con un 1 cuando están presentes. Recordemos que cada negado en cada término vale 0.
+He aquí la comprobación:
a | b | c | (a+bc+ac)b | min |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Recuerde que la lógica empleada en los...