MCQT Trabajo de curso 2014 FMV_Revisión

Métodos de Cálculo en Química Teórica

Fernando Martín Villa

Master en Ciencia y Tecnología Química
Trabajo de curso (2013/2014)-Revisión

1. Introducción.
En este documento se recogen los comentarios y observaciones derivados de la
corrección del Trabajo de Curso presentado el 29-1-2014. Estas observaciones afectan a los
siguientes ejercicios:
•

Ejercicio 2:
P.2 Correcto, pero:
a) falta unestudio de la convergencia GL (con otros valores N). Debe matizar su
observación sobre el cambio de signo o no de la función a integrar.
b) Su resultado de trapecios, ¿será mayor o menor que el exacto?

•

Ejercicio 3:
P.3 ¿Está normalizada su función de salida? . ¿Cómo se relaciona su resultado con el
teorema de Fourier para convoluciones?

•

Ejercicio 5.
P.5 Correcto. Puede completarlo con algunaevolución de un vector de probabilidad inicial
en dos o tres pasos, para ver cómo se comporta el proceso (V=(0,1,0,0), por ejemplo).

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Fernando Martín Villa

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2. Observaciones al ejercicio 2.
El ejercicio consistía en la evaluación numérica de la integral
‫ܫ‬ൌන

ஶ

଴√‫ݔ‬
݀‫ݔ‬
݁‫݌ݔ‬ሺ‫ݔ‬ሻ െ 1

Tras un cambio de variable, la integral se transformó en:
‫ܫ‬ൌන

ஶ

଴

ஶ
‫ݐ‬ଶ
‫ݐ‬
2‫ݐ݀ݐ‬
ൌ
2
න
݀‫ ݐ‬ൌ 2‫ܫ‬ଵ
ଶ
݁‫݌ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ଶ ሻ െ 1
଴ ݁‫݌ݔ‬ሺ‫ ݐ‬ሻ െ 1

La integral ‫ܫ‬ଵ se evaluó mediante el método de Gauss-Laguerre.

Comentario relativo al cambio de signo o no de la función a integrar.
Antes de aplicar directamente el método de integración de Gauss-Laguerre, se debe de
comprobarque la función a integrar no cambie de signo en el intervalo de integración. La
razón se debe a que si la función cambia de signo en el intervalo de integración, pudiera
suceder que los efectos de cancelación de áreas no se tuvieran en cuenta adecuadamente al
elegir los argumentos ‫ݔ‬௜ , y el valor estimado de la integral no fuese correcto. Si la función

cambiase de signo, habría que estudiar laintegral por intervalos y ajustar el número de
puntos de integración adecuadamente. Si la función no cambiase de signo, entonces el
método se podría aplicar directamente.
En este caso, la integral ‫ܫ‬ଵ se expresó como
ஶ

‫ܫ‬ଵ ൌ න ݁
଴

ି௫

Se comprobó que la función integrando
‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ

݁ ௫‫ݔ‬ଶ

݁௫ െ 1
మ

݀‫ݔ‬

݁ ௫‫ݔ‬ଶ

݁௫ െ 1
మ

no cambiaba de signo en el intervalo de integración y se procedió aaplicar directamente el
método.

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Estudio de la convergencia de la integral de Gauss-Laguerre.
El ejercicio se hizo inicialmente para N=8. Se obtuvo el siguiente resultado:
ஶ

‫ܫ‬ଵ ൌ න ݁ ି௫
଴

݁ ௫‫ݔ‬ଶ

మ
݁௫

െ1

ே

݀‫ ݔ‬ൌ ෍ ‫ܥ‬௜௅ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬௜௅ ሻ ൌ1,1535759
௜ୀଵ

‫ ܫ‬ൌ 2‫ܫ‬ଵ ൌ 2,3071518

Se va a repetir el ejercicio para distintos valores de N, y poder estudiar la convergencia
de la integral.
Los datos se han tomado del libro de Scheid – “Numerical Analisys (1968”), de la tabla
15.2, pg. 139. Se han tomado 7 decimales, al igual que en el problema inicial.
•

N=2.

Gauss - Laguerre (2 puntos)
xiL

f(xiL)

CiL

f(xiL)*CiL

0,5857864 1,50578170,8535534 1,2852651
3,4142136 0,0030680 0,1464466 0,0004493
SUMA

ே

1,2857144

‫ܫ‬ଵ ൌ ෍ ‫ܥ‬௜௅ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬௜௅ ሻ ൌ 1,2857144
௜ୀଵ

‫ ܫ‬ൌ 2‫ܫ‬ଵ ൌ 2,5714288

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•

N=3.

Gauss - Laguerre (3 puntos)
xiL

f(xiL)

CiL

f(xiL)*CiL

0,4157746 1,3883216 0,71109300,9872257
2,2942804 0,2716029 0,2785177 0,0756462
6,2899451 0,0000000 0,0103893 0,0000000
SUMA

ே

1,0628720

‫ܫ‬ଵ ൌ ෍ ‫ܥ‬௜௅ ‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬௜௅ ሻ ൌ 1,0628720
௜ୀଵ

‫ ܫ‬ൌ 2‫ܫ‬ଵ ൌ 2,1257440

•

N=4.

Gauss - Laguerre (4 puntos)
xiL

f(xiL)

CiL

f(xiL)*CiL

0,3225477 1,3100670 0,6031541 0,7901723
1,7457611 0,8703089 0,3574187 0,3110647
4,5366203 0,0000022 0,0388879 0,0000001
9,3950709 0,0000000 0,0005393...