Mecánica Estadística Cuántica

Del libro de Mecánica Estadística McQuarrie
Capítulo 10
En el Capítulo 4 se demostraron dos leyes de distribución fundamentales de la mecánica estadística. Una es la distribución de Fermi-Dirac, aplicada a sistemas cuya función de onda de N cuerpos es anti-simétrica respecto a un intercambio de dos partículas idénticas cuales quiera. La otra es la estadística de Bose-Einstein, la cual esaplicada para sistemas que tienen una función de onda simétrica bajo tal intercambio. Todas las partículas elementales que tienen spin semi-entero positivo, por ejemplo un electrón y un protón y obedecen la estadística de Fermi-Dirac son llamados fermiones; las partículas elementales que tiene spin entero, por ejemplo el deuterio y el fotón obedecen la estadística de Bose-Einstein son llamadosbosones. La clasificación de partículas compuestas puede volverse, en ciertas ocasiones, un problema delicado, pero solo si la energía de unión de las partículas compuestas es grande comparada con todas las demás energías en el problema (la cual lo será para todos los casos que se discutirán), uno puede decir que una partícula compuesta que contiene un número impar de fermiones, como He-3, obedecerá laestadística de Fermi-Dirac, y una que contenga un número par de fermiones, como He-4 obedecerá la estadística de Bose-Einstein. Es importante remarcar que no es obvio que todas las partículas que aparecen en la naturaleza son necesariamente fermiones o bosones, pero no parece que existan excepciones conocidas.
Las ecuaciones básicas asociadas con las dos leyes de distribución fundamentales son:| ΞV,T,λ=k1±λe-βεk±1 | (10-1) |
| N=kλe-βεk1±λe-βεk | (10-2) |
| nk=λe-βεk1±λe-βεk | (10-3) |
| E=kλεke-βεk1±λe-βεk | (10-4) |
| pV=±ktkln⁡1±λe-βεk | (10-5) |
donde λ=exp(μ/kT). En estas ecuaciones el signo positivo corresponde a la estadística de Fermi-Dirac, y el signo negativo a la estadística de Bose-Einstein. En lugar de discutir las propiedades termodinámicas dadas por estasecuaciones, es necesario resolver la Ec. (10-2) para λ en términos de N y de βε, y debido a que las εk son funciones de V, éste procedimiento entrega a λ como una función de N, V y T. Esta solución para λ se sustituye en las Ecs. (10-4) y (10-5) para obtener E y p, y de ahí las otras funciones termodinámicas en términos de N, V y T.
La dificultad es que no es posible resolver la Ec. (10-2) demanera analítica para todos los valores de λ. En el Capítulo 4 se demostró que si λ es pequeño, ambas estadísticas Fermi-Dirac y Bose-Einstein se reducen a la estadística de Boltzmann o límite clásico. En este caso λ=N/q y todas las manipulaciones matemáticas son fáciles de tratar. Entonces la magnitud de λ puede ser considerada como una medida del grado del comportamiento cuántico del sistema.Pequeños valores de λ corresponden a un comportamiento clásico o semi-clásico, y para valores grandes de λ aparentemente corresponde a un comportamiento estadístico cuántico. Con la ayuda de la Tabla 4-1 y la discusión llevada a cabo muestra que los efectos cuánticos se vuelven importantes para bajas temperaturas y altas densidades. Entonces se puede espera que λ sea pequeña para altas temperaturas ybajas densidades, y grande para bajas temperaturas y altas densidades. Esto se demostrará más adelante.
Afortunadamente muchos de los sistemas de interés pueden ser descritos por la estadística de Boltzmann y ser caracterizados por pequeños valores de λ. Esto permite tener una discusión detallada de los gases ideales clásicos. Existen varios sistemas que son importantes e interesantes, sinembargo (ver Tabla 4-1), ésta no puede ser descrita por la estadística clásica, por lo que λ no es pequeña. En este capítulo se discutirán estas aplicaciones.
En la Sección 10-1 se estudiará un gas ideal Fermi-Dirac para valores de λ tal que resulta útil una expansión en serie de Ecs. (10-2) hasta (10-5). El primer término representa la estadística de Boltzmann o límite clásico, entonces estas...