mecánica cuántica

MECÁNICA CUÁNTICA MODERNA
J. J. SAKURAI
2. Dinámica cuántica
a. Postulados de la mecánica cuántica.
POSICIÓN MOMENTUM Y TRASLACIÓN
Espectro continuo
Los observables en mecánica cuántica pueden tener un espectro discreto de valores propios, pero también pueden tenerlo de valores propios continuo. Tómese, por ejemplo, pz, la componente z del momentum. En mecánica cuántica se representamediante un operador hermitiano. En contraste con Sz, los valores propios de pz (en las unidades apropiadas) pueden tener cualquier valor real entre  e .
En el caso continuo, la ecuación de valores propios se puede escribir:

 | = ’ |’


Donde  es un operador y ’ es simplemente un número. El |’ es, en otras palabras, un ket propio del operador  con valor propio ’, tal como |a’ es unket propio del operador A con valor propio a’.
Siguiendo esta analogía, se reemplaza el símbolo de Kronecker por la función  de Dirac la suma discreta sobre los valores propios {a’} por la integral sobre la variable continua ’ Así:

a’|a’’ = a’a’’  ’|’’ = (  ’’)



|a’a’| = 1  d’ |’’| = 1



|a = |a’a’|  | = d’ |’’|



|a’|a’|2 = 1  d’|’||2= 1



|= |a’a’|  | = d’ |’’|



a’’| A |a’ = a’a’a’’  ’’|  |’ = ’(’’  ’)


Nótese que la relación de completez del segundo renglón se uso para obtener el tercero y el cuarto.
Kets propios de posición y medidas de posición
La medición en mecánica cuántica es esencialmente un proceso de filtración. Para extender esta idea a la medición deobservables que exhiben un espectro continuo es mejor trabajar con un ejemplo específico. Para ello, considérese el operador de posición en una dimensión.
Los kets propios |x’ del operador de posición x satisfacen:

x |x’ = x’ |x’


Postulados en la forma de un conjunto completo. Aquí x’ es un número con dimensiones de longitud, mientras que x es u operador. El ket de estado para un estado físicoarbitrario puede expandirse en términos de {|x’}:

| = |x’x’|


Considérese un medición (idealizada) del observable de posición. Supóngase que se cuenta con un detector capaz de dar una señal en el momento en el que una partícula se encuentra precisamente en la posición x’ y no en ninguna otra. El estado de posición al momento de la señal se representa por |x’. En otras palabras, cuando eldetector emite la señal, el estado | abruptamente brinca a |x'.
En la práctica, el mejor detector puede hacer esto localizando a la partícula en un intervalo angosto alrededor de x’. Un detector realista emitirá la señal de localización cuando la partícula sea observada en un rango (x’  /2, x’ + /2). Cuando la cuenta es registrada en el detector, el ket de estado cambia abruptamente comosigue:

| = |x’’x’’|  |x’’x’’|


Asumiendo que x’’| no cambia apreciablemente con el intervalo angosto. La probabilidad de que el detector emita la señal está dada por:

|x’’||2 dx’


Donde se ha escrito dx’ en lugar de . Esto es análogo a |’||2 para la problema de | al pasar a |a’ cuando se mide A. La probabilidad de registrar a la partícula en algún lugar entre  e  estádada por:

|x’’||2


Que está normalizada a la unidad si | está normalizado:

| = 1  |x’x’| = 1


Donde se puede asociar con x’| con la función de onda para el estado físico representado por |.
La noción de un ket propio puede extenderse a tres dimensiones. Para ello se asume que los kets propios |x’ están completos. El ket de estados para una partícula con grados delibertad internos, como espín, ingnorados, puede expandirse en términos de {|x’ } como sigue:

| = d3x’ |x’x’| = 1


Donde x’ se debe entender como x’, y’, z’. En otras palabras, |x’ es un ket propio simultáneo de los observables x, y, z.

|x’  |x’, y’, z’,
x |x’ = x’ |x’, y |x’ = y’ |x’, z |x’ = z’ |x’,


Para poder considerar como simultáneos estos kets, se debe suponer que las tres...