mecánica de fluidos

VIII.- FLUJO VISCOSO INCOMPRESIBLE
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VIII.1.- FLUJO LAMINAR EN CONDUCTOS CIRCULARES
En un flujo laminar la corriente es relativamente lenta y no es perturbada por las posibles protuberancias del contorno, mientras que la viscosidad es relativamente grande, de forma que si por cualquier
circunstancia se inicia un fenómeno de turbulencia, la viscosidad lo destruye.En consecuencia la formulación que se va a desarrollar sirve, tanto para tuberías lisas como para
tuberías rugosas, suponiendo que las partículas de fluido, en un flujo laminar a lo largo de un tubo, se
mueven en capas cilíndricas coaxiales; en el eje del tubo, el desplazamiento se realiza a mayor velocidad,
mientras que en las paredes permanece en reposo.
La distribución de velocidades en unasección transversal cualquiera del tubo obedece a las fuerzas de rozamiento transmitidas de capa en capa. Si se considera un tubo por el que circula un fluido, Fig VIII.1, de
diámetro 2 R y coaxialmente se toma un cilindro de
fluido de diámetro 2 r y longitud Δl, que se puede aislar

Fig VIII.1.- Tubo de fluido para la ecuación de Poiseuille

imponiéndole unas condiciones de contorno,aplicando en su base frontal una presión p y en la posterior
(p - Δp), así como el coeficiente τ de cortadura.
Sobre el cilindro actúa un empuje longitudinal de la forma: Femp = π r 2 Δ p
La fuerza de rozamiento: Froz = η S du = S = 2 π r Δl = 2 π η r Δ l du , es igual a la de empuje, por
dr
dr
lo que:
2 π η r Δl du = π r 2 Δ p
dr

⇒

du = r Δp
dr
2 η Δl

⇒

u=

Δp
2 η Δl

R∫r

r dr =

Δp
(R 2 - r 2 )
4 η Δl

que es una distribución del campo de velocidades de tipo paraboloide de revolución.
La expresión del caudal es:
Q=

R

∫0

u dΩ =

R

∫0

u 2 π r dr =

Δp
4 η Δl

R

∫0 (R 2 - r 2 ) 2 π r dr =

π R 4 Δp
8 η Δl

que es directamente proporcional a la variación de presión entre las secciones A y B, a la cuarta potenVIII.-127

ciadel radio de la conducción, e inversamente proporcional al tramo de tubería considerada de longitud Δl
y a la viscosidad dinámica η.
El caudal es Q = Ω uF, siendo uF la velocidad media, que se puede poner en la forma:

π R4 Δ p
2 Δp
Q
8ηL
uF =
=
= R
Ω
8η L
π R2
y Δp la caída de presión en toda la tubería de longitud L.

Fig VIII.3.- Distribución del coeficiente de cortadura, ydisipación de energía
2 Δp
La velocidad máxima se tiene para r = 0, de la forma: umáx = R
4η L

La relación entre la velocidad máxima y la velocidad media es: umáx = 2 uF
Despejando de la expresión de la velocidad media el valor de Δp, se obtiene la ecuación de Poiseuille,
de la forma:

Δp =

8 η L uF
32 η L u F
=
R2
d2

La pérdida de carga total Δp correspondiente a la longitud detubería L se puede poner en función de
la pérdida de carga por unidad de longitud de tubería J, en la forma:

Δp = J L
expresión que se puede poner en función del número de Reynolds, y el coeficiente λ de rozamiento, en la
forma:
J=

2
2
2
32 u F ρ
λ uF
λ uF
Δp
32 η u F
32 η uF uF ρ
u d
=
=
= Re = F
=
=ρ
=γ
⇒ λ = 64
L
uF ρ
η/ρ
d Re
2d
2gd
Re
d2
d2

que es el valordel coeficiente λ de rozamiento para el flujo de un fluido por un conducto en régimen laminar.
γ = 1 ; Δ e en (m)
El valor de Δ p para el agua, en función de γ es: 
γ = 1000 (kg/m 3 ) ; Δe en (kg/m 2 )
La ecuación de Poiseuille indica que la pérdida de carga en régimen laminar, para tuberías lisas o rugosas, es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad.
En la Fig VIII.2 seindican otras distribuciones correspondientes al coeficiente τ de cortadura, velor
cidad u y disipación de energía por rozamiento.

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VIII.2.- MOVIMIENTO TURBULENTO
Todos los estudios realizados para determinar las pérdidas de carga en el movimiento turbulento, se
pueden representar por la expresión:

ρ λ u2
16 ρ λ Q 2
=
= k Q2
2d
2 π 2 d5
en la que: λ = f ( u, d, ρ , η , ε...