mecánica vectorial

Universidad de La Serena
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería en Obras Civiles

4. FUERZAS EN EL ESPACIO

4.1. Vector momento de una fuerza con respecto a un punto en el espacio

Se define el vector momento de una fuerza con respecto a un punto a través del
producto cruz.
En el caso de la fuerza “F”, aplicada en el punto “A” que se encuentra en la posición
definida por elvector “r” con respecto al punto “O”, se tiene:

ˆ
i
r
r r
M O = r × F = rx
Fx

ˆ
j
ry
Fy

ˆ
k
rz
Fz

Figura Nº1: Definición de momento de una fuerza con respecto a un punto en el espacio.

La magnitud de este momento es:

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Profesor Ing. Jaime Campbell Barraza

M O = r ⋅ F ⋅ sinθ = F ⋅ d

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La dirección de este vector momento es perpendicular al plano formado por los
vectores “r” y “F” y su sentido está determinado por la Regla de la Mano Derecha.

4.2. Condiciones de equilibrio de un sistema espacial de fuerzas

Para que un sistema espacial de fuerzas se encuentre en equilibrio, debe cumplirse que:

r n r r
R = ∑ Fi= 0
i =1

n
r
r r r
M o = ∑ (ri × Fi ) = 0
i =1

Donde:
r
ˆ
ˆ
Fi = Fxii + Fyi ˆ + Fzi k
j
r
ˆ
ˆ
ri = rxii + ryi ˆ + rzi k
j

Y separando por componentes vectoriales:
n

∑F

xi

=0

(1)

=0

(2)

=0

(3)

i =1
n

∑F

yi

i =1
n

∑F

zi

i =1
n

n

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

∑ M xi = ∑(ryi Fzi − rzi Fyi ) =0 (4)
∑ M yi = ∑(rzi Fxi − rxi Fzi ) =0 (5)

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n

n

∑ M = ∑ (r F
zi

i =1

xi

yi

− ryi Fxi ) =0 (6)

i =1

Las seis ecuaciones anteriores son las ecuaciones de equilibrio de un sistema espacial
de fuerzas.

4.3.Momento de una fuerza con respecto a un eje en el espacio

El momento de una fuerza con respecto a un eje en el espacio se puede calcular como
el momento de la proyección de la fuerza sobre cualquier plano normal al eje (respecto del
cual se quiere momentar) multiplicado por la distancia perpendicular desde la línea de acción
de la proyección al punto de intersección del eje con el planocualquiera.

Figura Nº2: Momento de una fuerza con respecto a un eje.

A partir de la definición anterior, se puede deducir lo siguiente:

El momento de una fuerza con respecto a un eje es cero si la línea de acción de la
fuerza es paralela al eje respecto del cual se quiere momentar.

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El momento de una fuerza con respecto a un eje es cero si la línea de acción de la
fuerza corta al eje respecto del cual se quiere momentar.

4.4. Forma vectorial del momento de una fuerza con respecto a un eje

El momento de una fuerza con respecto a un eje se puede calcular vectorialmente a
través del tripleproducto escalar como:

r
r
r
ˆ
ˆ r
M OL = λ ⋅ M O = λ ⋅ (r × F )

λx

λy

λz

M OL = rx
Fx

ry
Fy

rz
Fz

Donde:
ˆ
ˆ
λ = λ x iˆ + λ y ˆ + λ z k
j
r
ˆ
ˆ
r = rxi + ry ˆ + rz k
j
r
ˆ
ˆ
F = Fxi + Fy ˆ + Fz k
j

Figura Nº3: Forma vectorial del momento de una fuerza con respecto a un eje.

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O sea, para calcular vectorialmente el momento de una fuerza con respecto a un eje en
el espacio se debe calcular usando el producto cruz el momento de la fuerza con respecto a un
punto “O” (perteneciente al eje respecto del cual se quiere momentar) y luego proyectar ese
momento al eje a...