Mecánica. Vibración De Cuerdas.

Vibración de Cuerdas
Mecánica Clásica

Índice

Objetivo 2
Introducción teórica 2
Método Experimental 5
Resultados 6
Discusiones 9
Cuestiones 11

Objetivo
La práctica se centrará en generar vibraciones en cuerdas metálicas sometidas a tensión. Dichas vibraciones son analizadas por una rendija fotosensible, que genera una imagen en el osciloscopio. De tal manera que se estudiarála dependencia de la frecuencia de la cuerda con la tensión y la longitud de la cuerda.
Este objetivo se conseguirá al medir la frecuencia de vibración de una cuerda en función de su longitud y de la tensión aplicada, y también al medir la frecuencia de vibración para dos tipos de cuerdas distintas de la misma longitud manteniendo la tensión aplicada fija.

Introducción teórica
Vamos aestudiar las vibraciones transversales de una cuerda homogénea de extremos fijos (Para realizar el estudio vamos a suponer que la longitud l y la tensión T no varían durante la variación).
Consideramos un elemento diferencial de la cuerda de longitud dx. Al producirse la vibración dx se mueve verticalmente una distancia y con respecto a la posición de equilibrio, y estando sus extremos sometidos a unatensión T, la fuerza que actúa es Fy = T sen(Ψ + d Ψ ) – T sen (Ψ), siendo Ψ el ángulo formado por la horizontal y la recta tangente a la curva y = y (x,t) en el punto de estudio. Por lo que tanΨ = ∂y∂x. (puesto que las vibraciones son muy pequeñas podemos considerar tan Ψ ≈ Ψ).
Derivando llegamos a: d Ψ = ( ∂ 2y∂x2 ) dx
Volviendo a la ecuación de Fy basándonos en el desarrollo deTaylor:
Fy = T {sen(Ψ + d Ψ ) – sen (Ψ)} = T dΨ = T ( ∂ 2y∂x2 ) dx
Sabiendo que la masa del elemento diferencial de la cuerda es dm = ⍴ q dx, siendo ⍴ la densidad de la cuerda y q el área de la sección transversal, utilizamos la segunda ley de Newton:
Fy = T ( ∂ 2y∂x2 ) ⍴ q dx
Así obtenemos la ecuación de onda de D´Alambert:
∂ 2y∂ 2t = c2 ∂ 2y∂ 2x
Siendo c = 2Tq⍴ la velocidad depropagación de la onda transversal de la cuerda. También se llama velocidad de fase, y es la velocidad con la que tendría que viajar un observador que se desplazase a lo largo del eje x para ver siempre el mismo valor de y.
Las ondas estacionarias son ondas armónicas con extremos fijos que no propagan energía. Se pueden entender como una superposición de dos ondas viajeras de igual amplitud ysentidos opuestos.
En esta cuerda existiría una superposición de ondas armónicas definida como:
y(x,t) = n=1∞ An sen (kn x) sen (wn t + Фn)
donde kn = n π / l es el número de ondas y wn = c kn = kn = c n π / l la frecuencia angular.
Asociados a estos parámetros están λn = 2 π / kn = 2l / n, que es la longitud de onda, y fn = wn / 2 π = nc / 2l.
Una característica de las ondasestacionarias es que la amplitud de vibración varía mediante sen (kn x). En los puntos en los que esta función se anula se llaman nodos, y en los que se hace máxima vientres.

Método Experimental
Nuestro montaje es el que podemos apreciar en la imagen la cuerda se apoya sobre dos pasadores triangulares, que serán sus extremos en reposo. Nos valdremos de una regla para determinar la distancia entreellos. La regla es un sistema de medida analógico, por lo tanto tiene un error de 0,5mm.
Mantenemos la tensión de la cuerda manteniendo uno de sus extremos fijo mediante un gancho y otro con un dinamómetro mediante el cual podremos establecer la tensión deseada. Éste tiene un error asociado de 0,5 N puesto que es una medida analógica.

Vamos a valernos de un martillo de goma para producir lavibración, golpeando con él en un punto céntrico de la cuerda. Esta vibración se detecta ópticamente mediante las sombras que produce sobre una rendija fotosensible. La señal originada es amplificada y transmitida al osciloscopio, que es el aparato que en la foto vemos a la izquierda, y a un contador para poder determinar su frecuencia. Esta es una medida digital de error 1Hz.
Resultados
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