Mecanica 1

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto ax puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica
En boxes los términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en y es una función diferenciable en , entonces la función compuesta es diferenciable en y

Ejemploconceptual
Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.
Este cálculo es una aplicacióntípica de la regla de la cadena.
Ejemplo algebraico
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:

o también

Ejemplo 1

y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

entonces:

Si definimos como función de función:

resulta que:

con el mismo resultado.Ejemplo 2
Tenemos la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:
, cuyas derivadas serían:

Con la regla de la cadena, esto sería:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

Y luego se obtiene la derivada.

Derivadas de orden superior
Lasfórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. algunas de ellas son:

Reglas de derivación
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.
Derivada de una constante
Una función polinómica de grado 0 o función constante es aquella que nodepende de ninguna variable y su derivada siempre será cero.
Si f(x) = a , tendremos que f'(x) = 0
Donde a es una constante, como un ejemplo:
f(x) = 7
f'(x) = 0
Derivada de una potencia entera positiva
Una función de carácter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = xn y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn − 1 por ejemplo tomemos la función:
f(x) = x3
Loprimero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:
f'(x) = 3x3 − 1
Quedando finalmente:
f'(x) = 3x2
En algunas funciones donde la variable ya esta siendo multiplicada, como: f(x) = 7x4 se aplica la siguiente regla.
Derivada de unaconstante por una función

Cuando una función esté representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a f'(x) = n(cx(n − 1)) de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función: f(x) = 8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:
f'(x) =4(8x4 − 1)
Para obtener
f'(x) = 32x3
Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:
f(x) = 7x
Entonces su derivada con respecto a esta variable será:
f'(x) = 7
Puesto que x0 = 1
Derivada de una suma
Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término...