Mecanica Clasica

Mec´nica de Lagrange y Hamilton a
1. C´lculo de variaciones a

Para dar una formulaci´n general de la din´mica es necesario emplear el concepto o a matem´tico de funcional que describiremos sin demasiado detalle matem´tico. a a Comencemos con un ejemplo: Supongamos que queremos determinar la curva y = y(x) en el plano X − Y que conecta dos puntos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) y a lo largo de la cualla distancia es m´ ınima. La distancia entre dos puntos ser´ a
2

S=
1

1 + y 2 dx

(1.1)

La cantidad S es un n´mero que se asigna a cada una de las posibles funciones u y(x). No es por tanto una funci´n sino una funcional S[y] que asigna a cada o funci´n y(x) un n´mero real. o u

1..1

Funcionales integrales
t2

Nos ocuparemos aqu´ de las funcionales de la siguiente forma ı A[q,q] = ˙
t1

F (q, q, t)dt ˙

(1.2)

A asigna un n´mero a cada funci´n q(t) definida en un intervalo [t1 , t2 ]. u o

1..2

Principio variacional

La gran semejanza que las funcionales tienen con las funciones sugiere inmediatamente la idea de extender a aquellas el c´lculo de m´ximos y m´ a a ınimos o, m´s gena eralmente, de puntos estacionarios. De ello se ocupa una rama de lasmatem´ticas a conocida como c´lculo de variaciones. a Diremos que una funci´n q(t) sufre una variaci´n δq si cambia a q = q +δq. Nos o o ˆ limitaremos a variaciones que se anulen en los extremos del intervalo de integraci´n. o Es decir δq(t1 ) = δq(t2 ) = 0 (1.3) 1

2

Cap´ ıtulo 4

q y q son por tanto trayectorias pr´ximas que conectan los puntos (t1 , q(t1 )) y ˆ o (t2 , q(t2 )). La variaci´n deq induce una variaci´n en q de forma que o o ˙ d δq dt Es pues natural definir la variaci´n de la funcional A como: o δq = ˙
t2

(1.4)

δA =
t1

[F (q + δq, q + δ q, t) − F (q, q, t)]dt ˙ ˙ ˙
t2

(1.5)

y por tanto δA =

t1

∂F ∂F δq + δ q dt ˙ ∂q ∂q ˙
t2 t1

(1.6)

Teniendo en cuenta (1.4), podemos hacer la integraci´n por partes siguiente o
t2 t1

∂F δ qdt = ˙ ∂q ˙

t2t1 t2 t1

∂F d(δq) ∂F dt = δq |t2 − t1 ∂ q dt ˙ ∂q ˙
t2 t1

d ∂F dt ∂ q ˙

δqdt

Utilizando (1.3)

∂F δ qdt = − ˙ ∂q ˙
t2

d ∂F dt ∂ q ˙ d ∂F dt ∂ q ˙

δqdt

(1.7)

Substituyendo en (1.6) δA =
t1

∂F − ∂q

δqdt

(1.8)

1..3

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Para que A sea extremal y por tanto δA = 0 para todas las variaciones δq es necesario que se anule elintegrando y por tanto ∂F − ∂q d ∂F dt ∂ q ˙ (1.9)

que se conoce como ecuaci´n de Euler-Lagrange. Se trata de una ecuaci´n difereno o cial de segundo orden en la que q es la variable dependiente y t la independiente. La soluci´n general depender´ de dos constantes arbitrarias que se fijan de modo o a que q(t1 ) = q1 y q(t2 ) = q2 . En general utilizaremos funcionales de varios argumentos qj , qj . Lacondici´n ˙ o de punto estacionario es entonces: ∂F − ∂qj d ∂F dt ∂ qj ˙ j = 1, 2....n (1.10)

es decir, un conjunto de n ecuaciones diferenciales de segundo orden

Mec´nica de Lagrange y Hamilton a

3

ejemplo
Volvamos, por ejemplo, al caso de la distancia entre dos puntos, que tal como vimos en (1.1) es:
t2

S=
t1

1 + y 2 dx

por tanto las ecuaciones de uker Lagrange son: ∂F − ∂qdonde F = de forma que d dx y por tanto y 1+y2 es decir y =a de forma que y = ax + b la distancia mas corta entre dos puntos corresponde a unirlos por una recta y 1+y2 =0 1+y2 d ∂F dx ∂ q ˙

= cte

2.
2..1

Formulaci´n lagrangiana para sistemas poteno ciales
Coordenadas generalizadas

Dado un sistema de N part´ ıculas, sus posiciones quedar´n determinadas por 3N a coordenadas ri = (xi ,yi , zi ) (2.1) i : 1...N (2.2) Si el sistema tiene n grados de libertad bastar´n n ≤ 3N coordenadas gena eralizadas qj para describirlo. ri = ri (q1 , q2 ....qn , t) (2.3)

4

Cap´ ıtulo 4

El sistema se dice natural si la relaci´n anterior no depende expl´ o ıcitamente del tiempo. La determinaci´n de las n coordenadas generalizadas en un instante t se deo nomina configuraci´n del...