Mecanica Cuantica No Hermitiana

\chapter{Estados Resonantes $u_n$, polos $k_n$ y matriz $S$}

El objetivo de esta segunda parte es obtener una expresi'on de la funci'on de onda en t'erminos de los Estados Resonantes. Para ellopasaremos nuevamente por la funci'on de Green pero primero dejaremos claras varias nociones sobre estos estados. Retomando la descripci'on fenomenol'ogica que vimos en la introducci'on, un EstadoResonante $u_n$ se define como un eigenestado soluci'on de la ecuaci'on de Schr\"{o}dinger pero con la particularidad de que se busca describir un sistema abierto. Esto implica que, a diferencia de lasfunciones del cont'inuo, no tengamos una onda entrante y consideremos 'unicamente una onda saliente. Es decir que en la regi'on externa (para $r>a$) el en'esimo Estado Resonante es proporcional a$e^{ik_nr}$. Por otra parte, tambi'en vimos que para tomar en cuenta el decaimiento del sistema hacia el exterior a trav'es del tiempo tenemos que considerar que para todo $n$ $k_n$ es un n'umero complejo dela forma $k_n = \alpha_n -i\beta_n$. En definitiva, las siguientes ecuaciones definen al Estado Resonante $n$:

\begin {equation}
\left \{ \begin{array}{l c}
u_n^{''}(r) + (k_n^2-V)u_n(r) = 0\\u_n(0) = 0
\\ u_n^{'}(r) = ik_n u_n(r), & r \geq a
\end{array} \right.
\end {equation}

Como en todo problema de Mec'anica Cu'antica, de lo que se trata es de determinar los niveles deenerg'ia, o en este caso, los valores de $k_n$. Para esto es conveniente poner en relaci'on nuestro problema de Estados Resonantes con la teor'ia de la dispersi'on y m'as particularmente con elcoeficiente $S(k)$ que vimos en la primera parte. En efecto, recordemos que las funciones f'isicas verifican

\begin {equation}
\left \{ \begin{array}{l c}
\psi^{+''}(k,r) + (k^2-V)\psi^+(k,r) = 0\\\psi^+(k,r=0) = 0, & \forall k
\\ \psi^+(k,r) = B(k)e^{-ikr} + A(k)e^{ikr}, & r \geq a
\end{array} \right.
\end {equation}

y se hab'ia definido $S(k) = -A(k)/B(k)$. En el caso en el que en esta...