Mecanica cuantica

Ondas de De Broglie

Recordemos que la fórmula relativista para la energía de una partícula esta dada por

Si consideramos que los fotones no tienen masa, entonces la formula es:

Por otra parte, sabemos que los fotones llevan una energía

de modo que cada fotón lleva un momento asociado

De manera similar, De Broglie supusó que cada partícula con momento p lleva asociada unaonda cuya longitud de onda es

• Esta ecuación ha sido verificada ampliamente por ecxperimentos de difracción de electrones rápidos en cristales.
Qué significa una onda asociada con una partícula?
Una partícula esta localizada en un punto. Una onda no.
Función de Onda
Hemos dicho que con cada partícula de momento p, se asocia una onda de longitud de onda . El significado físico de estaonda es el siguiente:
El valor de la función de onda asociada con una partícula en movimiento esta relacionada con la probabilidad de encontrar a la partícula en el punto (x,y,z) en el instante de tiempo t.
• En general una onda puede tomar valores positivos y negativos. Por
ejemplo la onda

• En general una onda puede representarse por medio de una cantidad
compleja

• Piense porejemplo en el campo eléctrico de una onda
electromagnética.
• Una probabilidad negativa, o compleja, es algo sin sentido. Esto significa
que la función de onda no es algo observable. Sin embargo el
módulo (o cuadrado) de la función de onda siempre es real y positivo.
Por esto, a se le conoce como la densidad de probabilidad.
Ahora sí podemos dar una interpretación física:
Laprobabilidad de encontrar una partícula en el punto x,y,z en el
instante t es proporcional al cuadrado de su función de onda asociada.


Nubes de probabilidad electrónicas:

En el caso más general de una función de onda compleja

el cuadrado esta dado por

El principio de Incertidumbre de Heisenberg
El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restriccionesen la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué enunciado por W. Heisenberg en 1927.
• Es natural pensar que si una partícula esta localizada, debemos poder
asociar con ésta un paquete de ondas mas o menos bien localizado.
Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número
infinito de ondas armónicas de diferentesfrecuencias.
En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete
de ondas esta dado por

donde k representa el número de onda

y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número
de ondas) que varian desde cero a mas infinito ponderadas mediante el factor
g(k).
El momento de la partícula y el número de ondas estan relacionados
ya que

de locual se deduce que

• Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas
las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varia entre cero e
infinito y por lo tanto el momento tambien varia entre
cero e infinito. Es decir que esta completamente indeterminado.
• Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes
tipos de paquetes de onday su transformada de Fourier que nos dice
como estan distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas
k dentro del paquete.

• En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
espacio x, tiene contribuciones practicamente iguales de todas las ondas
con número de ondas k.
• En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquetede ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.
• En el último caso vemos que para definir bien el momento de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.
• Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal como en el espacio de momentos .
El principio de incertidumbre nos dice...