Mecanica de fluidos

Regímenes de flujo laminar y turbulento
Las ecuaciones que rigen el régimen laminar de flujo son las mismas que en el flujo turbulento, las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes que para un flujo de un fluido newtoniano e incompresible son:
∇.v=0
ρ.DvDt=-∇.p+∇.2μ.D+fv……………………………………………(1)
Las incógnitas de estas ecuaciones son el campo de velocidades v(x,t) y el de presiones p(x,t).
Elrégimen laminar se caracteriza por un movimiento ordenado de las partículas de fluido, existiendo unas líneas de corriente y trayectorias bien definidas. En el régimen turbulento las partículas presentan un movimiento caótico sin que existan unas líneas de corriente ni trayectorias definidas.
En cuanto al campo de velocidades de uno u otro régimen, si en un punto de un campo de flujo se hiciera unamedida del valor de una variable de campo (por ejemplo de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en régimen laminar ésta presenta un valor bien definido que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio lasvariables de flujo presentan una variación temporal, aun cuando las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz).

Figura 1. Regímenes laminar y turbulento

El intentar obtener una solución a las ecuaciones del flujo en régimen turbulento esta fuera del alcance del análisis matemático y elcálculo numérico actuales. De forma similar a la teoría cinética donde se estudia el movimiento de infinidad de moléculas hay que recurrir a un estudio estadístico de la turbulencia trabajando con propiedades promedio. Una posibilidad de promediar las variables de flujo es considerar que en un punto del campo las variables vienen dadas como la suma de un valor promedio y una fluctuaciónturbulenta:
px,t=p͞x,t+p'x,t
vx,t=v͞x,t+v'x,t………………………………………(2)
El valor promedio temporal de una variable se obtiene de la forma:
p ͞ x,t=1T1-T21+T2px,tdt
v͞ x,t=1T1-T/21+T/2vx,tdt…………………………………………...(3)
Siendo T un periodo tal que el valor promedio obtenido es independiente de este valor. T es mucho más pequeño que la variación del valor promedio de forma que éste último podrá depender del valordel tiempo alrededor del cual se toma el promedio pero no de la amplitud elegida para realizarlo.
De la definición de las variables promedio se deduce que:

p ͞ 'x,t=1T1-T21+T2p'x,tdt=0
v͞ 'x,t=1T1-T/21+T/2v'x,tdt=0…………………………………………...(4)
Aunque los valores promedios de las fluctuaciones sean cero no es cierto que el promedio del producto de dos fluctuaciones lo sea, por ejemplo:u͞'.u͞'=1T1-T21+T/2u'.u'dt≠0…………………………………………………(5)
Una vez que se ha definido la manera de promediar, se toman valores promedio en las ecuaciones de Navier-Stokes.
1T.1-T/21+T/2∇.v.dt=0
1T1-T/21+T/2ρDvDt.dt=1T1-T/21+T/2[-∇.p+∇.2μ.D+fv].dt…………………(6)
Aquí no se va a entrar en el detalle del resultado obtenido al realizar estos promedios (para ello puede consultarse la bibliografía) pero decir que lasecuaciones que se obtienen son:
∇.v ͞=0
ρ.Dv͞Dt=-∇.p͞+∇.2μ.D͞+T͞T+fv………………………………………(7)
La ecuación de la continuidad tiene el mismo aspecto sólo que en lugar del campo de velocidades aparece el campo de velocidades promedio. La ecuación de la cantidad de movimiento presenta, además del cambio de las velocidades instantáneas por las promedio, la aparición de un nuevo término, unas tensiones adicionalesque se denominan tensiones turbulentas de Reynolds. Estas tensiones cuantifican la influencia de la fluctuación turbulenta en el campo de flujo promedio.
Para poder resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas es necesario conocer cómo se relacionan estas tensiones turbulentas con las variables de flujo. A la relación matemática esta relación entre T͞T,v͞ y p͞ se conoce como modelo...