MECANICA DE FLUIDOS



A. Conociendo que la densidad del agua del mar en función de la profundidad, esta dada por la relación definida en la figura siguiente, determinar la presión a la que se encuentra el fluido a una profundidad de 8000 m.



Comentaris inicials

Primer de tot, hem de veure que ens estan demanant per saber de quina manera afrontar el problema. Ens fan determinar quina és la densitat, queanomenarem de l´aigua en funció de la profunditat o alçada, que anomenarem h.
Com a informació, ens faciliten una gràfica on està expressada la variació de la profunditat amb la densitat. Però com justament, el que volem és el contrari, podem girar la gràfica per tal d´obtenir la evolució de la densitat (eix d´ordenades) quan ho fa la profunditat (eix d´abcisses).

Desenvolupament numèricPrimerament, per les propietats dels fluids sabem que el diferencial de pressió ve donat per l´expressió següent:
dP= ρgdh (1)
Prenem aquesta expressió amb signe positiu que la gràfica evoluciona de manera positiva. És a dir, contra més profunditat, més gran serà la pressió que s´exercirà sobre el fluid.
Integrant a banda i banda de la igualtat tenim que:
= (2)

Seguidament, resoleml’expressió anterior, tenint en compte que el terme g és constant, i per tant, pot sortir fora de la integral:

= (3)

Observar que apareix el terme , que no fa més que indicar-nos que la densitat del fluid varia en funció de l´alçada a la que es trobi.
Veure també que el terme P- Patm es tracta del que anomenem com a Pressió Relativa, és a dir, la diferència entre la pressió absoluta i lapressió atmosfèrica.
A continuació, operem l´equació (3) i tenim que:
= g dh + dh =

Sabem que cada 10 metres, la pressió augmenta en 1 atm. Per tant, pels 8000 metres que ens estan demanant, correspondran a aproximadament a 800 atm de pressió.

Ara aproximem la funció mitjançant uns punts de la grafica.


= g dh + dh =
= 1,02683 · 106 Pa + 7,196· 106 Pa = 8,22 ·106 Pa


ACABAOB. Sea un volumen de fluido∀ inicial el cualestásometido a una P inicial y T inicial; si la presiónaumenta un 20% respecto de la inicial, determinar el aumento de temperatura requerido para que el volumen se mantenga invariable. α = conocido y conocido.


Per les classes de teoria, sabem que la variació del volum d´un fluid amb la pressió i la temperatura ve donat per:
d∀ = ()PctedT +()TctedP. (1)
A continuació, ho dividim tot per i obtenim conseqüentment:
()= () ()Pcte dT + () ()Tcte dP. (2)
Notar que el terme () ()Pcte és justament el coeficient d´expansió tèrmica (α) i que, d´altra banda, el terme () ()Tcte correspon al coeficient de compressibilitat () . Ho substituïm a l´equació anterior:
()= α dT + dP (3)
Per tant, integrant i considerant que són coneguts iconstants, i per tant, poden sortir de la integral, obtenim:
= α - (4)
la resolució de la qual és:
ln () = α (Tf-To) – (Pf-Po) (5)
sent el terme ln () = 0 ja que i, matemàticament, sabem que el logaritme neperià de 1 és nul.
És a dir, tenim que: 0 = α (Tf-To) – (Pf-Po) (6)
Si d´aquí n´aïllem el terme de la temperatura final, que estem buscant, esdevé:
Tf = To + (Pf-Po) (7)Finalment, atès que sabem per l´enunciat que = 0,2 tenim, en conclusió, que la temperatura final serà:
Tf= To + 0,2 Po /
C. Hallar la densidad del aire a una altura de 11000 m, conociendo que la temperatura del aire en función de la altura está dada por la relación: T= To – Bh. Donde T[K]; To= 288,15 [K]; B=0,00650 [K/m]; h(m);

En aquest exercici mirarem de trobar quina es la densitat del´aire a una determinada altura atès que coneixem la temperatura del aire en funció de l´alçada a la que es troba.
Primer, haurem de trobar és a dir, com varia la densitat en funció de l´alçada per, seguidament, substituir-ho adequadament i trobar el que ens demanen.
Suposem que l´aire es tracta, en el nostre cas, d´un gas ideal. En ser així, sabem per termodinàmica general que s’haurà de...