mecanica de fluidos

Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física

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Arturo Quirantes Sierra - Apuntes de Física

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. EL TEOREMA PI.
Puesto que los entes observables se agrupan en conjuntos de una misma magnitud con
el objeto de establecer relaciones de comparación (igualdad y suma), es evidente que no se
podrán comparar cantidades de magnitudes distintas. Se sigue, pues, que todoslos sumandos de
una ecuación física son cantidades de una misma magnitud. Así, en una ecuación tal como e =
s+vt+at2 se entiende que, si e representa una longitud, s y los productos vt y at2 también
representan longitudes. En general, cualquier ecuación física ha de relacionar términos, en
relaciones de igualdad o de suma, que pertenezcan a la misma magnitud (o, como suele decirse
por abusode lenguaje, que tengan las mismas dimensiones); esta propiedad recibe el nombre de
condición de homogeneidad dimensional.
Una ecuación física ha de ser dimensionalmente homogénea, pero la inversa no es
siempre cierto. La ecuación v = a2lt3 es homogénea, ya que ambos términos tienen dimensiones
iguales:
[v] = [a2][l][t3]
LT-1 = LT-22LT3
LT-1 = L2T-4LT-3
LT-1 = LT-1
Sin embargo, ello nosignifica que exista una situación física caracterizada por la
ecuación v = a2lt3. De hecho, la ecuación v = 2a2lt3 sería también homogénea, puesto que 2 es
una cantidad adimensional. En general, el principio de homogeneidad nos indica cuándo una
ecuación puede o no representar una situación física real. la ecuación v = lt2 no es homogénea,
LT-1 … LT-2, por lo que no puede representar unproceso físico bajo ninguna circunstancia.
El principio de homogeneidad dimensional permite averiguar qué dimensiones ha de tener
una constante para que una ecuación sea posible. Por ejemplo, la ley de Newton de gravitación
F = GMm/d2 muestra la proporcionalidad (directa o inversa) entre fuerza, masas y distancia, pero
no es homogénea en tanto G no tenga dimensiones. ¿Cuáles? Despejando:
F'GMm
d2

Y [G]'

Fd 2 MLT &2L 2
'
'[M &1L 3T &2]
2
Mm
M

Con ello, G ha de tener dimensiones de M-1L3T-2, y unidades de m3/(kg*s2) en el S.I.
Este principio de homogeneidad dimensional viene sistematizado en el teorema pi. No
se dará aquí el enunciado completo de dicho problema con objeto de no complicar inútilmente
el planteamiento. Bástenos saber que dicho teorema nos permitedeterminar la forma que ha de
tener una ecuación, conocidas las cantidades que ha de relacionar.

Homogeneidad dimensional. El teorema pi.

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Supongamos un conjunto de cantidades [X1], [X2] ... [Xn] cuyas unidades pueden elegirse
arbitrariamente (por lo general, se suelen tomar las que hemos definido como magnitudes
fundamentales). Una ecuación entre cantidades [Y1], [Y2] ... [Yp], quepueden ser cantidades de
magnitudes derivadas o constantes con dimensiones, tendrá la forma general:
a

a

a

[Y1 1]@[Y2 2]...@[Y p p]'1
A menudo este tipo de relaciones, por abuso de lenguaje, suele recibir el nombre de
"ecuación entre magnitudes," aunque estrictamente hablando es una ecuación entre cantidades
(recordemos que magnitud es la propiedad abstracta, cantidad un observableconcreto; existen
muchos valores de cantidades de tiempo, pero sólo una magnitud tiempo). Si, a su vez,
relacionamos cada cantidad derivada Yi con las cantidades de magnitudes fundamentales
g

g

g

[Y i]'[X1 i1]@[X2 i2]...[Xn 0]
entonces la ecuación entre cantidades quedaría así:
g

g

g

g

g

g

g

g

[X1] 11[X2] 12...[Xn] 1n @ [X1] 21[X2] 22...[Xn] 2n ... [X1]p1...[Xn] pn '1
Reagrupando convenientemente, se obtiene un producto de cantidades de magnitudes
fundamentales igual a la unidad:
g a1%g21a2...%gp1a p

[X1] 11

g a1%...gp2a p

[X2] 12

g a1%...gpna p

...[Xn] 1n

'1

Como 1 = [X1] o[X2] o...[Xn] o, obtenemos un conjunto de n ecuaciones con p incógnitas (a1...ap):
g11a1%g21a2%...%gp1ap'0
g12a1%g22a2%...%gp2ap'0
...............