Mecanica De Los Medios Continuos Unidad 1

ÍNDICE.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS.
1.1.

NOTACIÓN INDICIAL.

1.2.

OPERACIONES DE TENSORES.

1.3.

MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE VALORES Y

VECTORES PROPIOS.
1.4.

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.

1.5.

TEOREMAS DE GREEN Y STOKES.

BIBLIOGRAFÍA.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos.

1

1.1. Notación indicial.
El convenio de sumación de Einstein, notación de Einstein o notaciónindicial a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el
que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra
griega sigma - Σ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916. Se
aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra
lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre
índices repetidos. Elconvenio se usa especialmente con tensores donde es
muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy
fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.
Definición. Dada una expresión lineal en

en la que se escriben todos sus

términos de forma explícita:
u=u 1 x 1+ u2 x 2 +…+u n x n
Esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:
n

u=∑ ui x i
i=1

Lanotación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada
eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante
un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo.
u=u i x i

Índice. Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma
de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que
las siguientes expresiones sonválidas:
k i xi
V i=uij x j

Cijk e i e j ek

Y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:
Fundamentos de la mecánica de los medios continuos.

2

x i y i zi
am x mj y mk
En cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como
un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente
expresión en

.

a μ bμ =a0 b0 + a1 b 1+ a2 b2 +a3 b3
Uníndice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se
conoce como índice mudo, por ejemplo:
A= A i e i
Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a
excepción de los términos constantes se conoce como índice libre:
S r =ar x i+ br x j +c r −1
Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan
un sistema de ecuacionesindependientes.

Representación vectorial. Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra
lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se
puede, por ejemplo, poner índices sobre-escritos para representar elementos
en una columna e índices subscritos para representar elementos en una fila.
Siguiendo esta convención, entonces:
u=u i=[ u1 ,u 2 … un ] Para i=1,2,3, … , n
Fundamentos de lamecánica de los medios continuos.

3

Representa

1x n

vector fila y representa

[]

u1
V =v j= u2
un

Para

n x1

vector columna.

j=1,2,3,… , n

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los
vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores
columna representan vectores covariantes.

1.2. Operaciones de Tensores.
Producto tensorial yproducto exterior. Dados dos tensores se puede definir
entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo
más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores
originales.
El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos
dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de
los componentes de untensor y es llamado producto exterior.
Por ejemplo:
jk

l

jkl

A i B m=C ℑ

Subir y bajar índices. En una variedad riemanniana existe la posibilidad de
definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en
una variedad cualquiera. Esa operación permite substituir en los cálculos un
tensor de tipo

por otro de tipo

con tal que

. Esta

operación se denomina usualmente...