mecanica de materiales

A1 Conceptos básicos de
Mecánica de Medios
Continuos
A1.1

Definiciones básicas

Se entiende por medio continuo a un conjunto infinito de partículas cuyo estudio
supone la ausencia de espacios vacíos y se suponen continuas y de derivada continua a
todas las funciones que se consideran el la teoría12.
Existen tres conceptos independientes:
Continuidad: Un material es continuo si sellena completamente en el espacio que
ocupa no dejando poros o espacios vacíos y si además si propiedades pueden ser descritas
por funciones continuas.
Homogeneidad: Un material es homogéneo si tiene propiedades idénticas en todos sus
puntos.
Isotropía: Un material es isótropo con respecto a ciertas propiedades si éstas son las
mismas en todas direcciones.
A1.1.1 Notación indicial
La notaciónindicial o de Einstein se utiliza en el desarrollo de este trabajo por razones
de precisión en la definición y de comodidad a la hora de la programación.
Esta consiste en que todo índice repetido en un mismo monomio de una expresión
algebraica supone la sumatoria con respecto a ese índice.
Ejemplo:
Vector a :
a = a1 + a2 + a3 = ai
(A1.1)
Producto escalar :

1
2

a ⋅ b = a1b1 + a 2 b2+ a3b3 = ai bi

(A1.2)

Malvern, L.E. (1969). Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall., Englewood Cliffs, NJ.
Oliver Olivella, X y Argelet de Saracíbar Bosch, C, (2000). Mecánica de los medios continuos para ingenrieros.
Ediciones UPC.

Anexos A1- Conceptos Básicos de Mecánica de Medios continuos

3

A1.1.2 Símbolo de permutación
0
1

cuando mnr van enorden ascendente

-1

emnr =

para dos índices iguales

cuando mnr van en orden inverso

(A1.3)

Ejemplo:

Producto vectorial:

c = a × b = (a 2 b3 − a3b2 )i + (a3b1 − a1b3 ) j + (a1b2 − a 2 b1 )k

(A1.4)

c p = eqrp a q br

A1.1.3 Delta de Kronekner
δpq =
Ejemplo:

Igualdad e-δ:

A1.2

0

si p = q

1

si p ≠ q

(A1.5)

eijk eirs = δ jrδ ks − δ jsδ kr(A1.6)

Ecuaciones de movimiento

Se puede describir el movimiento del medio continuo a través de funciones matemáticas
que describen la posición de cada partícula a lo largo del tiempo.
Se define como configuración del medio continuo en el instante t al lugar geométrico de
las posiciones que ocupan en el espacio los puntos materiales del medio continuo en dicho
instante y se denota por Ω.
Aun cierto instante t = t0 del intervalo de tiempo de interés se lo denomina instante de
referencia y a la configuración en dicho instante Ω0 se la denomina configuración inicial,
material o de referencia.
Dado el sistema de coordenadas cartesianas (X,Y,Z) y los correspondientes versores
(e1,e2,e3).
X3

P
X

e3
e1

Ω0

P’

Ωτ

x
e2
X2

X1
Figura A1.1– Configuraciones delmedio continuo.

4

MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS

En la configuración de referencia Ω0 el vector posición X de una partícula que ocupa un
punto P en el espacio viene dado por:

X = X 1e1 + X 2 e2 + X 3 e3 = X i ei

(A1.7)

donde las componentes (X1, X2, X3) se las denomina coordenadas materiales de la
partícula.
En la configuración actual Ωt, la partícula situadaoriginalmente en el punto material P
ocupa el punto espacial P’ y su vector de posición x viene dado por:

x = x1e1 + x 2 e2 + x3 e3 = xi ei

(A1.8)

donde a (x1, x2, x3) se las denomina coordenadas espaciales de la partícula en el instante
de tiempo t.
De esta forma puede describirse el movimiento de las partículas del medio continuo
mediante la evolución de sus coordenadas espaciales, ode su vector posición, a lo largo del
tiempo. Matemáticamente esto requiere conocer una función para que cada partícula
proporcione sus coordenadas espaciales xi en los sucesivos instantes de tiempo.
Puede hacerse en función de las coordenadas materiales o en función de las
coordenadas espaciales.
En función de las coordenadas materiales x = ϕ ( X , t ) = x( X , t )
(A1.9)
Xi: Ecuaciones...