mecanica de suelos

Regresión con la Variable Dependiente
Discreta: el caso Binario
I. INTRODUCCION
En general la variable dependiente es continua, como por
ejemplo si (Y) se refiere a:
• kilos de
• manzanas
• resultados de tests de evaluación (encuestas de
calidad)
Hay variables que son discretas por naturaleza, las más
simples son las variables binarias
Queremos entender el efecto de X sobre unavariable
binaria:

• Y = ingresar a la universidad, o no
• Y = la persona fuma, o no fuma
• Y = la persona entra al mercado laboral, participa o no
participa
• Y = la persona tiene un hijo o no
• Y = el trabajador decide ser autónomo o asalariado

II. MOTIVACION
FUNCIONES INDICE/ VARIABLES LATENTES
MODELOS DE UTILIDAD ESTOCASTICOS
1. Funciones Índice
Supongamos que del modelo económiconos dice que el
costo-beneficio de cierta opción como la de comprar un
auto se puede escribir como:
Y* = β ' X + ε
donde suponemos que ε : f ( 0 ,1 ) con f simétrica.
No observamos Y*, pero si observamos una variable
discreta y relacionada con Y*, tal que:

Y = 1 si Y * > 0
Y = 0 si Y * ≤ 0
En esta formulación, Y* es una variable latente no
observable y la función índice es β ' X . Nopodemos

correr una regresión con Y* como variable independiente,
porque no la observamos.
La probabilidad de observar Y= 1 es:
Pr(Y* > 0 ) = Pr( Y = 1 )
= Pr( β ' X + ε > 0 ) = Pr( ε > − β ' X )
y como f es simétrica

=Pr( ε < β ' X ) ⇒
Pr( Y = 1 ) = F( β ' X )
donde F es la función cumulativa de ε .

Ver gráfico de F( β ' X )
Hay un modelo estructural subyacente que veremos que
nospermitirá elegir e interpretar los coeficientes
estimados.
2. Modelo de Utilidad Estocástica
2.1. Elección Universidad o sólo hasta secundaria
Veamos un simple modelo de elección, el de ir a la
Universidad o no ir.
El valor presente del salario si el individuo termina la
secundaria es:
Ys* = β s ' X s + ε s

y el valor presente del salario si el individuo fuera a la
universidad es:Yu* = β u ' X u + ε u
No necesariamente las X y los e tienen que ser diferentes.
Pero ir a la universidad implica costos:
C* = δ ' X C + ε C
Por lo que el valor presente del beneficio (esperado) es:
Y* = Yu * −Ys * −C *

= βu ' X u − β s ' X s − δ ' X C + ( ε u − ε s − ε C )
= β' X +ε
Acá Y* tampoco es observable ya que implicaría conocer
para cada individuo su cálculo de costos ybeneficios de
esta elección. Otra vez tenemos la situación anterior

donde si observamos Y = 1 si el individuo elige ir a la
universidad e Y = 0 si se queda sólo con secundaria.
Suponiendo que ( ε u − ε s − ε C ) : f ( 0 ,1 ) simétrica
Pr(Y* > 0 ) = Pr( Y = 1 )
= Pr( ε u − ε s − ε C > −( β u ' X u − β s ' X s − δ ' X C )

= Pr( ε u − ε s − ε C < ( β u ' X u − β s ' X s − δ ' X C )
= F( β u ' Xu − β s ' X s − δ ' X C )
Y* es no observable pero si podemos inferir Pr(Y*>0) ya
que es igual a Pr(Y = 1) donde Y es observable. La
regresión subyacente Y* no se puede estimar, pero si se
puede estimar la regresión (en general no lineal) para
Pr(Y*>0).

2.2. Participación Laboral
En este caso tenemos que
Y* = W − W *
Notemos que Y* es otra vez una variable latente porque
W* (elsalario de reserva) es no observado al menos.
Del modelo económico también sabemos que W* es
función de A, el ingreso no laboral. Suponiendo que es
una función lineal de A y de no observables e:

W* = α ' A + ε
donde nuestro modelo predice que a>0 y además que si
observamos la participación laboral Y y si ε : f ( 0 ,1 )
simétrica, entonces:

Pr(Y* > 0 ) = Pr(W − W* > 0 ) = Pr( Y = 1 )
=Pr(W − α ' A − ε > 0 )
= F(W − α ' A )
III. Propiedades de Y y supuestos sobre la
distribución de e
1. Y es una variable aleatoria discreta por lo que su
esperanza es:
E(Y/X) = 1´Pr(Y=1) + 0´Pr(Y=0) = Pr(Y=1)
= F(ß’X)
por eso estimamos la Pr(Y=1)

2. Especificación de F
2.1. Modelo de Probabilidad Lineal
F(ß’X)= ß’X
e tiene una densidad uniforme
2.2. Modelo PROBIT
F(ß’X)= Φ(ß’X)
β'...