Mecanica Estadistica

Tarea 3: Mecánica estadística

1.- a) Demuestre que el número de partículas en un gas ideal de bosones con partículas idénticas es: N =
r

1 ∂ ln QB E ; use N = − ; α = − βµ ∂α e βεr +α − 1

En general, la función de partición gran canónica, de un sistema cuántico es:
nmax

Q=
r n=0

e−(βεr +α)n

En la estadística de Bose-Einstein nmax = ∞, (no hay exclusión). Por lo tanto:
∞QBE =
r n=0

e−(βεr +α)n =
r

1 1 − e−(βεr +α)

Recordemos que una serie geométrica tiene la forma:
∞

zk =
k=0

1 1 − |z |

si y solo si |z | ≤ 1

Es importante notar que βεr + α ≥ 0, por lo tanto e−(βεr +α) ≤ 1. Entonces el valor esperado del número de partículas es: N =− =− =−
r

∂ log ∂α ∂ ∂α

r

1 1 − e−(βεr +α)

1 1 − e−(βεr +α) r 1 ∂ log −(βεr +α) ∂α 1−e log

=r

∂ log 1 − e−(βεr +α) ∂α e−(βεr +α) 1 − e−(βεr +α) 1 eβεr +α − 1

=
r

=
r

b) Demuestre que el número medio de partículas en el estado r para un gas ideal de bosones con partículas idénticas es: ¯ nr ≡ nr = 1 eβεr+α − 1

εr =

1 1 1 + 1 − α = [log(1 + n) − log(n) − α] log β β n 1

Sabemos que: nq =− =− 1 ∂log(Q) β ∂ε q 1 ∂ log β ∂ε q 1 1 − e−(βεr +α)

r

1 ∂ = β ∂εq 1 = β ==
r 1 si r = q 0 si r q

log 1 − e−(βεr +α)
r

r

∂ log 1 − e−(βεr +α) ∂ε q βe−(βεr +α) ∂εr 1 − e−(βεr +α) ∂ε q e−(βεr +α) δr,q 1 − e−(βεr +α)

1 β

r

Donde δr,q =

es la delta de Kroneker. Al realizar la suma sobre r los únicos términos

que serán distintos de cero serán aquellos donde la δr,q sea distinta de cero, es decir únicamente cuando r = q. Entonces: nq = e−(βεq +α) 1= (βε +α) −(βεq +α) q 1−e e −1

Por otro lado, sabemos que N =

r

nr, es decir: ¯ 1
r

N = Por lo tanto:

e

(βεr +α)

−1

=
r

nr ¯

nr = ¯

1 e(βεr +α) − 1

2.- Considere un sistema formado por dos partículas, cada una de las cuales puede estar en tres estados cuánticos de energías respectivas 0, ε y 3ε. El sistema está en equilibrio a temperatura T . Escribir todoslos términos de la función de partición canónica cuando las partículas satisfacen la estadística de: a) Maxwell-Boltzman La función de partición canónica es: z=
R

e− βER =
ER

g(ER)e− βER

Las energías del sistema ER puden asociarse a ciertas configuraciones (ε1, ε2) de las energías de las partículas individuales, de tal forma que ER = ε1 + ε2: { (0, 0), (0, ε), (0, 3ε), { 0, ε, 3ε → (ε, 0),(ε, ε), (ε, 3ε), ε, 2ε, 4ε, (3ε, 0), (3ε, ε), (3ε, 3ε) } 3ε, 4ε, 6ε } 2

Como hay valores repetidos de ER, es importante considerar el factor de degeneración: 1 si ER = 0, 2ε, 6ε 2 si ER = ε, 3ε, 4ε

g(ER) =

Osea que la función de partición es: z =
R

g(Er)e− βER

= 1 + e−2βε + e−6βε + 2e−βε + 2e−3βε + 2e−4βε b) Bose-Einstein Al considerar las partículas en el contexto de la mecánicacuántica, estas se hacen inherentemente indistinguibles, entonces tenemos: { (0, 0), × × { 0, × × → (ε, 0), (ε, ε), × ε, 2ε, × (3ε, 0), (3ε, ε), (3ε, 3ε) } 3ε, 4ε, 6ε } y el factor de degeneración se hace 1 siempre (no hay valores repetidos de ER). Entonces la función de partición queda: z = 1 + e−2βε + e−6βε + e− βε + e−3βε + e−4βε c) Fermi-Dirac Al tratarse de fermiones, el principio deexclusión de Pauli exige que dos partículas no puedan estar en el mismo estado, por lo tanto, no ER solo puede ser ε, 3ε, 4ε: { ⊗ × × { ⊗ × × → (ε, 0), ⊗ × ε, ⊗ × (3ε, 0), (3ε, ε), ⊗ } 3ε, 4ε, ⊗ }

Entonces la función de partición queda: z = e− βε + e−3βε + e−4βε 3.- a) Demostrar que para bosones la entropía se puede escribir como: SBosones = − k
r

¯ ¯ ¯ ¯ [nrln(nr) − (1 + nr)ln(1 + nr)]Solución: Sabemos que S =− ∂Φ ∂T 3

Donde Φ es el gran potencial termodinámico. Pero también sabemos que Q = e− βΦ Entonces: S =− = = = ∂ −1 log(Q) ∂T β 1
r

⇒

Φ=

−1 log(Q) β

∂ 1 log ∂T β ∂ kT log ∂T ∂ kT ∂T ∂ kT ∂T
r

1−e

−(βεr +α)

1
r

1−e

−εr /kT −µ/kT

log
r

1 1−e
−εr/kT −µ/kT

=−

log 1 − e−εr/kT − µ/kT
r

=−k − kT
r

log 1 − e−εr/kT − µ/kT ∂ log 1 −...